Bài tập, đề thi trắc nghiệm online Giải tích 1 – Đề 1

Ta sử dụng tính chất tuyến tính của tích phân và các công thức cơ bản.\$int (x^3 + frac{1}{x}) dx = int x^3 dx + int frac{1}{x} dx$.\Nguyên hàm của $x^n$ là $frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (với $n ne -1$). Do đó, $int x^3 dx = frac{x^{3+1}}{3+1} + C_1 = frac{x^4}{4} + C_1$.\Nguyên hàm của $frac{1}{x}$ là $ln|x| + C_2$. Vì $x > 0$, ta có $ln x$. Do đó, $int frac{1}{x} dx = ln x + C_2$.\Kết hợp lại, ta được $frac{x^4}{4} + ln x + C$, với $C = C_1 + C_2$. Vì $x > 0$, $|x|=x$, nên ta có thể viết $ln|x|$.\Kết luận Giải thích: Nguyên hàm là $frac{x^4}{4} + ln|x| + C$.

Đây là dạng vô định $frac{0}{0}$. Ta sử dụng giới hạn cơ bản $lim_{uto 0} frac{sin u}{u} = 1$. \$lim_{xto 0} frac{sin(3x)}{2x} = lim_{xto 0} frac{sin(3x)}{3x} cdot frac{3x}{2x} = lim_{xto 0} 1 cdot frac{3}{2} = frac{3}{2}$.\Kết luận Giải thích: Giá trị giới hạn là $frac{3}{2}$.

Ta sử dụng quy tắc chuỗi. Đặt $u = x^2$, khi đó $f(x) = e^u$.\Đạo hàm theo quy tắc chuỗi là $f'(x) = frac{df}{du} cdot frac{du}{dx}$.\Ta có $frac{df}{du} = frac{d}{du}(e^u) = e^u = e^{x^2}$.\Và $frac{du}{dx} = frac{d}{dx}(x^2) = 2x$.\Vậy, $f'(x) = e^{x^2} cdot 2x = 2xe^{x^2}$.\Kết luận Giải thích: Đạo hàm là $f'(x) = 2xe^{x^2}$.

Tìm đạo hàm cấp nhất: $y' = frac{d}{dx}(x^3 - 3x + 2) = 3x^2 - 3$.\Giải phương trình $y' = 0$: $3x^2 - 3 = 0 Rightarrow 3(x^2 - 1) = 0 Rightarrow x^2 = 1 Rightarrow x = pm 1$. Các điểm cực trị tiềm năng là $x = -1$ và $x = 1$.\Tìm đạo hàm cấp hai: $y'' = frac{d}{dx}(3x^2 - 3) = 6x$.\Tại $x = -1$, $y''(-1) = 6(-1) = -6 < 0$. Do đó, hàm số đạt cực đại tại $x = -1$.\Tại $x = 1$, $y''(1) = 6(1) = 6 > 0$. Do đó, hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$.\Kết luận Giải thích: Hàm số đạt cực đại tại $x=-1$, cực tiểu tại $x=1$.

Để tìm cực tiểu, ta tính đạo hàm và giải phương trình $y'=0$. Đạo hàm của hàm số là $y' = 2x - 4$. Giải phương trình $2x - 4 = 0 Leftrightarrow 2x = 4 Leftrightarrow x = 2$. Để kiểm tra đây là cực tiểu, ta tính đạo hàm cấp hai: $y'' = 2$. Vì $y''(2) = 2 > 0$, điểm cực trị tại $x=2$ là điểm cực tiểu. Tọa độ điểm cực tiểu là $(x, y(x))$, với $y(2) = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$. Điểm cực tiểu là $(2, -1)$. Kết luận: Điểm cực tiểu của hàm số là $(2, -1)$.

Sử dụng giới hạn cơ bản $lim_{u to 0} frac{sin(u)}{u} = 1$. Ta có $lim_{x to 0} frac{sin(3x)}{x} = lim_{x to 0} 3 cdot frac{sin(3x)}{3x}$. Đặt $u = 3x$. Khi $x to 0$, thì $u to 0$. Giới hạn trở thành $3 lim_{u to 0} frac{sin(u)}{u} = 3 cdot 1 = 3$. Kết luận: Giá trị giới hạn là $3$.

Nguyên hàm của $cos(ax)$ là $frac{1}{a}sin(ax) + C$. Áp dụng với $a=2$, ta có nguyên hàm của $f(x) = cos(2x)$ là $frac{1}{2}sin(2x) + C$. Kết luận: Nguyên hàm của hàm số là $frac{1}{2}sin(2x) + C$.

Để tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = e^{2x}$, ta sử dụng phương pháp đổi biến hoặc công thức nguyên hàm cơ bản.nNhận thấy đây là dạng $e^{ax}$ với $a=2$. Công thức nguyên hàm của $e^{ax}$ là $int e^{ax} dx = frac{1}{a} e^{ax} + C$.nÁp dụng công thức với $a=2$, ta có $int e^{2x} dx = frac{1}{2} e^{2x} + C$.nĐể kiểm tra, ta lấy đạo hàm của $frac{1}{2} e^{2x} + C$: $(frac{1}{2} e^{2x} + C)' = frac{1}{2} cdot (e^{2x})' + 0 = frac{1}{2} cdot e^{2x} cdot (2x)' = frac{1}{2} e^{2x} cdot 2 = e^{2x}$, đúng bằng $f(x)$.nKết luận Giải thích: $int e^{2x} dx = frac{1}{2} e^{2x} + C$.

Để tìm đạo hàm của hàm số $y = sin(x^2 + 1)$, ta sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp. Đặt $u = x^2 + 1$. Khi đó $y = sin(u)$.nTheo quy tắc chuỗi, $y' = frac{dy}{dx} = frac{dy}{du} cdot frac{du}{dx}$.nTa có $frac{dy}{du} = frac{d}{du}(sin(u)) = cos(u)$ và $frac{du}{dx} = frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x$.nThay $u = x^2 + 1$ trở lại, ta được $y' = cos(x^2 + 1) cdot (2x) = 2x cos(x^2 + 1)$.nKết luận Giải thích: $y' = 2x cos(x^2 + 1)$.

Để tìm điểm cực trị địa phương của hàm số $f(x) = x^3 - 3x + 2$, ta cần tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bậc nhất bằng 0 hoặc không xác định.nTính đạo hàm bậc nhất: $f'(x) = frac{d}{dx}(x^3 - 3x + 2) = 3x^2 - 3$.nCho $f'(x) = 0$: $3x^2 - 3 = 0 Leftrightarrow 3(x^2 - 1) = 0 Leftrightarrow x^2 = 1 Leftrightarrow x = pm 1$.nCác điểm nghi ngờ là cực trị là $x = 1$ và $x = -1$.nTa sử dụng bảng xét dấu của $f'(x)$ hoặc đạo hàm bậc hai để xác định loại cực trị.nTính đạo hàm bậc hai: $f''(x) = frac{d}{dx}(3x^2 - 3) = 6x$.nTại $x = 1$: $f''(1) = 6(1) = 6 > 0$. Vì $f'(1) = 0$ và $f''(1) > 0$, hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$.nTại $x = -1$: $f''(-1) = 6(-1) = -6 < 0$. Vì $f'(-1) = 0$ và $f''(-1) < 0$, hàm số đạt cực đại tại $x = -1$.nGiá trị cực tiểu là $f(1) = 1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$.nGiá trị cực đại là $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4$.nKết luận Giải thích: $x = 1$ là điểm cực tiểu, $x = -1$ là điểm cực đại.

Tích phân xác định được tính bằng cách tìm nguyên hàm và đánh giá tại các cận. Nguyên hàm của $x^2 + 1$ là $frac{x^3}{3} + x$. Áp dụng Định lý Newton-Leibniz: $int_0^1 (x^2 + 1), dx = left[ frac{x^3}{3} + x right]_0^1 = left( frac{1^3}{3} + 1 right) - left( frac{0^3}{3} + 0 right) = left( frac{1}{3} + 1 right) - 0 = frac{4}{3}$. Kết luận: Giá trị của tích phân là $frac{4}{3}$.

Chuỗi số hình học có dạng $sum_{n=0}^{infty} ar^n = a + ar + ar^2 + dots$. Chuỗi này có tổng riêng thứ $N$ là $S_N = a frac{1 - r^{N+1}}{1-r}$ (nếu $r ne 1$).\Chuỗi hội tụ nếu giới hạn của tổng riêng khi $Ntoinfty$ tồn tại và hữu hạn.\Nếu $|r| < 1$, thì $lim_{Ntoinfty} r^{N+1} = 0$. Khi đó $lim_{Ntoinfty} S_N = a frac{1 - 0}{1-r} = frac{a}{1-r}$. Giới hạn này tồn tại, nên chuỗi hội tụ.\Nếu $|r| > 1$ hoặc $r = -1$, thì $lim_{Ntoinfty} r^{N+1}$ không tồn tại hoặc không hữu hạn. Chuỗi phân kỳ.\Nếu $r = 1$, chuỗi là $sum_{n=0}^{infty} a = a + a + a + dots$. Nếu $a ne 0$, chuỗi phân kỳ vì các số hạng không tiến về 0. Nếu $a=0$, chuỗi hội tụ về 0, nhưng điều kiện hội tụ thường xét cho $a ne 0$.\Điều kiện hội tụ tổng quát (khi $a ne 0$) là $|r| < 1$.\Kết luận Giải thích: Chuỗi số hình học $sum_{n=0}^{infty} ar^n$ hội tụ khi $|r| < 1$.

Để tính giới hạn $L = lim_{x to 2} frac{x^2 - 4}{x - 2}$, ta nhận thấy khi $x to 2$, cả tử số và mẫu số đều tiến về 0, dạng vô định $frac{0}{0}$. Ta có thể phân tích nhân tử tử số: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.nDo đó, $L = lim_{x to 2} frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2}$.nVới $x neq 2$, ta có thể rút gọn $(x - 2)$ ở tử và mẫu: $L = lim_{x to 2} (x + 2)$.nThay $x = 2$ vào biểu thức còn lại, ta được $L = 2 + 2 = 4$.nKết luận Giải thích: $L = 4$.

Hàm số $f(x)$ được gọi là liên tục tại điểm $x_0$ nếu ba điều kiện sau được thỏa mãn: (1) $f(x_0)$ tồn tại (hàm số xác định tại $x_0$), (2) $lim_{x to x_0} f(x)$ tồn tại (giới hạn của hàm số khi $x$ tiến tới $x_0$ tồn tại), và (3) $lim_{x to x_0} f(x) = f(x_0)$ (giới hạn bằng giá trị của hàm số tại điểm đó).nĐiều kiện (3) bao hàm cả hai điều kiện (1) và (2). Nếu $lim_{x to x_0} f(x) = f(x_0)$ thì hiển nhiên cả giới hạn và giá trị hàm số tại $x_0$ phải tồn tại và bằng nhau.nKết luận Giải thích: $lim_{x to x_0} f(x) = f(x_0)$.

Đạo hàm của hàm số $y = x^3 - 2x^2 + 5x - 1$ là $y' = frac{d}{dx}(x^3) - frac{d}{dx}(2x^2) + frac{d}{dx}(5x) - frac{d}{dx}(1) = 3x^2 - 4x + 5$. Tại $x=2$, đạo hàm là $y'(2) = 3(2)^2 - 4(2) + 5 = 3(4) - 8 + 5 = 12 - 8 + 5 = 9$. Kết luận: Đạo hàm của hàm số tại $x=2$ là $9$.