Bài tập, đề thi trắc nghiệm online Giải tích 1 – Đề 2

Ta có $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$. Khi $x neq 1$, biểu thức trở thành $frac{(x-1)(x+1)}{x - 1} = x+1$. Do đó, $lim_{x to 1} frac{x^2 - 1}{x - 1} = lim_{x to 1} (x+1) = 1 + 1 = 2$. Kết luận: Giới hạn của hàm số là $2$.

Tính đạo hàm bậc nhất: $f'(x) = 3x^2 - 3$. Tìm điểm dừng bằng cách giải $f'(x) = 0 Rightarrow 3x^2 - 3 = 0 Rightarrow x^2 = 1 Rightarrow x = pm 1$. Tính đạo hàm bậc hai: $f''(x) = 6x$. Tại $x = 1$, $f''(1) = 6 > 0$, nên $x=1$ là điểm cực tiểu địa phương. Tại $x = -1$, $f''(-1) = -6 < 0$, nên $x=-1$ là điểm cực đại địa phương. Kết luận: Hàm số có cực đại tại $x = -1$ và cực tiểu tại $x = 1$.

Sử dụng phương pháp đổi biến. Đặt $u = x^2$. Khi đó, vi phân $du = frac{d}{dx}(x^2),dx = 2x,dx$. Suy ra $x,dx = frac{1}{2},du$. Nguyên hàm cần tìm trở thành $int e^{x^2} cdot x,dx = int e^u cdot frac{1}{2},du = frac{1}{2} int e^u,du$. Nguyên hàm của $e^u$ là $e^u$. Do đó, nguyên hàm là $frac{1}{2} e^u + C$. Thay $u = x^2$ trở lại, ta được $frac{1}{2} e^{x^2} + C$. Kết luận Giải thích: $frac{1}{2} e^{x^2} + C$

Đây là chuỗi Riemann (hoặc p-series). Theo tiêu chuẩn tích phân hoặc tiêu chuẩn so sánh giới hạn với tích phân suy rộng, chuỗi $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^p}$ hội tụ khi và chỉ khi $p > 1$. Kết luận Giải thích: Chuỗi hội tụ khi $p > 1$.

Áp dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp $(e^{u})' = e^u cdot u'$. Ở đây, $u = x^2 + 1$, nên $u' = (x^2 + 1)' = 2x$. Vậy, $y' = e^{x^2 + 1} cdot (2x) = 2x e^{x^2 + 1}$. Kết luận Giải thích: Đạo hàm của hàm số là $y' = 2x e^{x^2 + 1}$.

Để tính giới hạn của hàm phân thức khi $xtoinfty$, ta chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của $x$ ở mẫu, là $x^2$. Ta có $lim_{xtoinfty} frac{3x^2 - 2x + 1}{x^2 + 5x - 4} = lim_{xtoinfty} frac{frac{3x^2}{x^2} - frac{2x}{x^2} + frac{1}{x^2}}{frac{x^2}{x^2} + frac{5x}{x^2} - frac{4}{x^2}} = lim_{xtoinfty} frac{3 - frac{2}{x} + frac{1}{x^2}}{1 + frac{5}{x} - frac{4}{x^2}}$. Khi $x to infty$, các số hạng $frac{2}{x}, frac{1}{x^2}, frac{5}{x}, frac{4}{x^2}$ đều tiến tới 0. Do đó, giới hạn bằng $frac{3 - 0 + 0}{1 + 0 - 0} = frac{3}{1} = 3$. Kết luận Giải thích: $3$

Ta có $lim_{x to 0} frac{sin(ax)}{bx} = lim_{x to 0} frac{sin(ax)}{ax} cdot frac{ax}{bx} = lim_{x to 0} frac{sin(ax)}{ax} cdot frac{a}{b}$. Vì $lim_{y to 0} frac{sin(y)}{y} = 1$, nên $lim_{x to 0} frac{sin(ax)}{ax} = 1$. Do đó, giới hạn đã cho bằng $1 cdot frac{a}{b} = frac{a}{b}$. Kết luận Giải thích: Giá trị của giới hạn là $frac{a}{b}$.

Hàm số liên tục tại $x=1$ khi và chỉ khi $lim_{x to 1^-} f(x) = lim_{x to 1^+} f(x) = f(1)$. Ta có $lim_{x to 1^-} f(x) = lim_{x to 1^-} (x^2 + a) = 1^2 + a = 1 + a$. $lim_{x to 1^+} f(x) = lim_{x to 1^+} (2x + 3) = 2(1) + 3 = 5$. $f(1) = 1^2 + a = 1 + a$. Để hàm số liên tục tại $x=1$, ta cần $1 + a = 5$. Suy ra $a = 5 - 1 = 4$. Kết luận: Giá trị của tham số $a$ là $4$.

Để xác định khoảng đồng biến, ta cần tìm đạo hàm $f'(x)$ và xét dấu của nó. $f'(x) = (x^3 - 3x^2 + 2)' = 3x^2 - 6x$. Đặt $f'(x) = 0 Leftrightarrow 3x^2 - 6x = 0 Leftrightarrow 3x(x - 2) = 0$. Các nghiệm là $x = 0$ và $x = 2$. Xét dấu của $f'(x)$: $f'(x)$ là tam thức bậc hai có hai nghiệm 0 và 2, hệ số của $x^2$ là 3 (dương). Do đó, $f'(x) > 0$ khi $x < 0$ hoặc $x > 2$, và $f'(x) < 0$ khi $0 < x < 2$. Hàm số đồng biến khi $f'(x) > 0$. Kết luận Giải thích: Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-infty, 0)$ và $(2, +infty)$.

Để hàm số $g(x)$ liên tục tại $x=2$, giới hạn trái của $g(x)$ khi $xto 2^-$, giới hạn phải của $g(x)$ khi $xto 2^+$, và giá trị của hàm số tại $x=2$ phải bằng nhau. Giới hạn trái: $lim_{xto 2^-} g(x) = lim_{xto 2^-} (bx + 3) = b(2) + 3 = 2b + 3$. Giới hạn phải: $lim_{xto 2^+} g(x) = lim_{xto 2^+} (x^2 - 1) = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3$. Giá trị tại $x=2$: $g(2) = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3$. Để hàm số liên tục tại $x=2$, ta cần $2b + 3 = 3$. Giải phương trình này, ta được $2b = 0$, suy ra $b = 0$. Kết luận Giải thích: $b = 0$

Để tính tích phân xác định, ta tìm nguyên hàm của hàm dưới dấu tích phân và sử dụng Định lý cơ bản của Giải tích. Nguyên hàm của $x^2$ là $frac{x^3}{3}$. Nguyên hàm của $2x$ là $x^2$. Do đó, một nguyên hàm của $x^2 + 2x$ là $F(x) = frac{x^3}{3} + x^2$. Tích phân xác định là $F(1) - F(0)$. $F(1) = frac{1^3}{3} + 1^2 = frac{1}{3} + 1 = frac{1}{3} + frac{3}{3} = frac{4}{3}$. $F(0) = frac{0^3}{3} + 0^2 = 0$. Vậy, $int_0^1 (x^2 + 2x),dx = F(1) - F(0) = frac{4}{3} - 0 = frac{4}{3}$. Kết luận Giải thích: $4/3$

Sử dụng quy tắc chuỗi, đặt $u = x^2$. Khi đó $y = sin(u)$. Ta có $frac{dy}{dx} = frac{dy}{du} cdot frac{du}{dx}$. $frac{dy}{du} = cos(u) = cos(x^2)$ và $frac{du}{dx} = 2x$. Vậy $frac{dy}{dx} = cos(x^2) cdot 2x = 2xcos(x^2)$. Kết luận: Đạo hàm của hàm số là $2xcos(x^2)$.

Nguyên hàm của tổng bằng tổng các nguyên hàm: $int (e^x + frac{1}{x}) dx = int e^x dx + int frac{1}{x} dx$. Ta có $int e^x dx = e^x + C_1$ và $int frac{1}{x} dx = ln|x| + C_2$. Do đó, $int (e^x + frac{1}{x}) dx = e^x + ln|x| + C$, trong đó $C = C_1 + C_2$ là hằng số tích phân. Kết luận: Nguyên hàm của hàm số là $e^x + ln|x| + C$.

Áp dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp $(f(g(x)))' = f'(g(x)) cdot g'(x)$. Ở đây, $f(u) = cos(u)$ và $g(x) = x^3 - 2x$. Đạo hàm của $f(u)$ theo $u$ là $f'(u) = -sin(u)$. Đạo hàm của $g(x)$ theo $x$ là $g'(x) = frac{d}{dx}(x^3 - 2x) = 3x^2 - 2$. Do đó, đạo hàm của $y$ theo $x$ là $y' = f'(g(x)) cdot g'(x) = -sin(x^3 - 2x) cdot (3x^2 - 2)$. Kết luận Giải thích: $-$sin(x^3 - 2x) cdot (3x^2 - 2)$

Sử dụng phương pháp đổi biến số. Đặt $u = x^2$. Khi đó, $du = 2x , dx$, hay $x , dx = frac{1}{2} du$. Tích phân trở thành $int cos(u) cdot frac{1}{2} du = frac{1}{2} int cos(u) , du$. Nguyên hàm của $cos(u)$ là $sin(u) + C$. Thay $u = x^2$ trở lại, ta được $frac{1}{2} sin(x^2) + C$. Kết luận Giải thích: Tích phân bất định là $frac{1}{2} sin(x^2) + C$.