Bài tập, đề thi trắc nghiệm online Giải tích 2 – Đề 1

Đây là tích phân suy rộng loại I. Ta tính giới hạn: $int_1^infty frac{1}{x^2} dx = lim_{btoinfty} int_1^b x^{-2} dx$. Nguyên hàm của $x^{-2}$ là $-x^{-1} = -frac{1}{x}$. Do đó, $lim_{btoinfty} [-frac{1}{x}]_1^b = lim_{btoinfty} (-frac{1}{b} - (-frac{1}{1})) = lim_{btoinfty} (-frac{1}{b} + 1)$. Khi $b to infty$, $-frac{1}{b} to 0$. Giới hạn bằng $0 + 1 = 1$. Vì giới hạn tồn tại và bằng một giá trị hữu hạn, tích phân hội tụ. Kết luận Giải thích: Tích phân hội tụ và có giá trị bằng $1$.

Sử dụng tiêu chuẩn Tỷ số (Ratio Test). Đặt $a_n = frac{(x-3)^n}{n+1}$. Khi đó $a_{n+1} = frac{(x-3)^{n+1}}{n+2}$. Tính giới hạn $L = lim_{n to infty} |frac{a_{n+1}}{a_n}| = lim_{n to infty} |frac{(x-3)^{n+1}/(n+2)}{(x-3)^n/(n+1)}| = lim_{n to infty} |x-3| frac{n+1}{n+2} = |x-3| lim_{n to infty} frac{1 + 1/n}{1 + 2/n} = |x-3| cdot 1 = |x-3|$. Chuỗi hội tụ khi $L < 1$, tức là $|x-3| < 1$. Bán kính hội tụ $R$ là giá trị sao cho $|x-a| < R$. Trong trường hợp này, $a=3$ và bất đẳng thức là $|x-3| < 1$. Do đó, bán kính hội tụ là $R=1$. Kết luận Giải thích: $R=1$.

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần $int u, dv = uv - int v, du$. Đặt $u = x$, $dv = e^x dx$. Suy ra $du = dx$, $v = e^x$. Tích phân trở thành $[x e^x]_0^1 - int_0^1 e^x dx = (1 cdot e^1 - 0 cdot e^0) - [e^x]_0^1 = e - (e - 1) = 1$. Kết luận Giải thích: Giá trị của tích phân là $1$.

Sử dụng tiêu chuẩn Tỷ số (Ratio Test). Đặt $a_n = frac{n}{2^n}$. Khi đó $a_{n+1} = frac{n+1}{2^{n+1}}$. Tính giới hạn $L = lim_{n to infty} |frac{a_{n+1}}{a_n}| = lim_{n to infty} |frac{(n+1)/2^{n+1}}{n/2^n}| = lim_{n to infty} frac{n+1}{2^{n+1}} cdot frac{2^n}{n} = lim_{n to infty} frac{n+1}{n} cdot frac{2^n}{2^{n+1}} = lim_{n to infty} (1 + frac{1}{n}) cdot frac{1}{2} = 1 cdot frac{1}{2} = frac{1}{2}$. Vì $L = frac{1}{2} < 1$, theo tiêu chuẩn Tỷ số, chuỗi hội tụ tuyệt đối, do đó hội tụ. Kết luận Giải thích: Chuỗi hội tụ.

Tìm giao điểm của hai đường cong: $x^2 = x Leftrightarrow x^2 - x = 0 Leftrightarrow x(x-1) = 0$. Giao điểm tại $x=0$ và $x=1$. Trên khoảng $[0, 1]$, ta có $x ge x^2$. Diện tích là tích phân của hiệu hai hàm số từ $0$ đến $1$: $A = int_0^1 (x - x^2) dx = [frac{x^2}{2} - frac{x^3}{3}]_0^1 = (frac{1}{2} - frac{1}{3}) - (0 - 0) = frac{3-2}{6} = frac{1}{6}$. Kết luận Giải thích: Diện tích miền phẳng là $frac{1}{6}$.

Tìm các giao điểm của hai đường cong bằng cách giải phương trình $x^2 = x$. Điều này tương đương với $x^2 - x = 0$, hay $x(x-1) = 0$. Các nghiệm là $x=0$ và $x=1$. Trên khoảng $(0, 1)$, đường $y=x$ nằm phía trên đường $y=x^2$ (ví dụ, tại $x=0.5$, $y=0.5$ và $y=0.25$). Diện tích được tính bằng tích phân $int_0^1 (x - x^2) dx$. Tính tích phân: $[frac{x^2}{2} - frac{x^3}{3}]_0^1 = (frac{1^2}{2} - frac{1^3}{3}) - (frac{0^2}{2} - frac{0^3}{3}) = frac{1}{2} - frac{1}{3} = frac{3-2}{6} = frac{1}{6}$. Kết luận Giải thích: $frac{1}{6}$.

Ta tính tích phân bên trong trước theo biến $y$, coi $x$ là hằng số:n$int_0^2 (x+2y) dy = left[ xy + y^2 right]_0^2 = (x(2) + 2^2) - (x(0) + 0^2) = 2x + 4$.nBây giờ, ta tính tích phân bên ngoài với kết quả vừa tìm được:n$int_0^1 (2x+4) dx = left[ x^2 + 4x right]_0^1 = (1^2 + 4(1)) - (0^2 + 4(0)) = (1+4) - 0 = 5$.nKết luận Giải thích: 5

Để tìm diện tích miền phẳng, trước hết ta tìm giao điểm của hai đường cong bằng cách giải phương trình $x^2 = x + 2$. Tương đương $x^2 - x - 2 = 0$. Phương trình này có hai nghiệm $x = -1$ và $x = 2$.nTrên đoạn $[-1, 2]$, ta xét dấu của hàm $f(x) = (x+2) - x^2$. Tại $x=0$, $f(0)=2 > 0$, vậy $y=x+2$ nằm phía trên $y=x^2$ trên khoảng $(-1, 2)$.nDiện tích cần tìm được tính bằng tích phân xác định: $A = int_{-1}^2 (x+2 - x^2) dx$.n$A = left[ frac{x^2}{2} + 2x - frac{x^3}{3} right]_{-1}^2$n$A = left( frac{2^2}{2} + 2(2) - frac{2^3}{3} right) - left( frac{(-1)^2}{2} + 2(-1) - frac{(-1)^3}{3} right)$n$A = left( 2 + 4 - frac{8}{3} right) - left( frac{1}{2} - 2 + frac{1}{3} right)$n$A = left( 6 - frac{8}{3} right) - left( -frac{3}{2} + frac{1}{3} right)$n$A = frac{18-8}{3} - frac{-9+2}{6} = frac{10}{3} - frac{-7}{6} = frac{10}{3} + frac{7}{6} = frac{20+7}{6} = frac{27}{6} = frac{9}{2}$.nKết luận Giải thích: $frac{9}{2}$

Thể tích của khối tròn xoay khi quay miền giới hạn bởi $y=f(x)$, trục Ox, $x=a$, $x=b$ quanh trục Ox được tính bằng công thức $V = pi int_a^b [f(x)]^2 dx$.nTrong trường hợp này, $f(x) = x^2$, $a=1$, $b=2$.n$V = pi int_1^2 (x^2)^2 dx = pi int_1^2 x^4 dx$.n$V = pi left[ frac{x^5}{5} right]_1^2$n$V = pi left( frac{2^5}{5} - frac{1^5}{5} right) = pi left( frac{32}{5} - frac{1}{5} right) = pi frac{31}{5}$.nKết luận Giải thích: $frac{31pi}{5}$

Xét từng chuỗi:nChuỗi $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^p}$ là chuỗi p-series. Chuỗi này hội tụ khi và chỉ khi $p > 1$. Do đó, với $p < 1$, chuỗi phân kỳ.nChuỗi $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{sqrt{n}} = sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^{1/2}}$. Đây là p-series với $p = 1/2 < 1$, nên chuỗi này phân kỳ.nChuỗi $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n}$ là chuỗi điều hòa, là p-series với $p=1$. Chuỗi điều hòa phân kỳ.nChuỗi $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n!}$. Ta có thể sử dụng tiêu chuẩn D'Alembert (tiêu chuẩn tỷ lệ). Đặt $a_n = frac{1}{n!}$.n$lim_{ntoinfty} frac{a_{n+1}}{a_n} = lim_{ntoinfty} frac{1/{(n+1)!}}{1/{n!}} = lim_{ntoinfty} frac{n!}{(n+1)!} = lim_{ntoinfty} frac{n!}{(n+1)n!} = lim_{ntoinfty} frac{1}{n+1} = 0$.nVì giới hạn bằng 0, nhỏ hơn 1, nên theo tiêu chuẩn D'Alembert, chuỗi $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n!}$ hội tụ.nKết luận Giải thích: $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n!}$

Đây là một chuỗi hình học có dạng $sum_{n=0}^infty r^n$ với tỷ số $r = frac{2}{3}$. Chuỗi hình học hội tụ khi và chỉ khi $|r| < 1$. Ở đây, $|frac{2}{3}| = frac{2}{3} < 1$, nên chuỗi hội tụ. Tổng của chuỗi hình học hội tụ được tính bằng công thức $frac{a}{1-r}$, trong đó $a$ là số hạng đầu tiên. Số hạng đầu tiên (khi $n=0$) là $(frac{2}{3})^0 = 1$. Do đó, tổng là $S = frac{1}{1 - frac{2}{3}} = frac{1}{frac{1}{3}} = 3$. Kết luận Giải thích: Chuỗi hội tụ và có tổng bằng $3$.

Miền phẳng được giới hạn bởi $y = sqrt{x}$, $y=0$, $x=0$ và $x=4$. Khi quay quanh trục hoành, ta sử dụng phương pháp đĩa (disk method). Bán kính của đĩa tại mỗi điểm $x$ là $R(x) = y = sqrt{x}$. Thể tích được tính bởi tích phân $V = int_a^b pi [R(x)]^2 dx$. Với giới hạn từ $x=0$ đến $x=4$, ta có $V = int_0^4 pi (sqrt{x})^2 dx = pi int_0^4 x dx$. Tính tích phân: $pi [frac{x^2}{2}]_0^4 = pi (frac{4^2}{2} - frac{0^2}{2}) = pi (frac{16}{2} - 0) = 8pi$. Kết luận Giải thích: Thể tích khối tròn xoay là $8pi$.

Sử dụng phương pháp đổi biến số. Đặt $u = x^2$. Khi đó, $du = 2x dx$, suy ra $x dx = frac{1}{2} du$. Đổi cận: khi $x=0$ thì $u=0^2=0$, khi $x=1$ thì $u=1^2=1$. Tích phân trở thành $int_0^1 e^u frac{1}{2} du = frac{1}{2} int_0^1 e^u du$. Tính tích phân: $frac{1}{2} [e^u]_0^1 = frac{1}{2}(e^1 - e^0) = frac{1}{2}(e-1)$. Kết luận Giải thích: $frac{1}{2}(e-1)$.

Để tìm đạo hàm riêng của $f(x, y)$ theo biến $x$, ta coi $y$ là hằng số và lấy đạo hàm như đối với hàm một biến $x$.n$f(x, y) = x^3y^2 - sin(xy)$.nĐạo hàm của $x^3y^2$ theo $x$ là $y^2 cdot frac{d}{dx}(x^3) = y^2 cdot 3x^2 = 3x^2y^2$.nĐạo hàm của $-sin(xy)$ theo $x$ là $-cos(xy) cdot frac{partial}{partial x}(xy) = -cos(xy) cdot y = -ycos(xy)$.nVậy, $frac{partial f}{partial x} = 3x^2y^2 - ycos(xy)$.nKết luận Giải thích: $frac{partial f}{partial x} = 3x^2y^2 - ycos(xy)$

Để tìm đạo hàm riêng theo $x$, ta coi $y$ là hằng số. Đạo hàm của $x^3 y^2$ theo $x$ là $y^2 frac{d}{dx}(x^3) = y^2 (3x^2) = 3x^2 y^2$. Đạo hàm của $sin(xy)$ theo $x$ sử dụng quy tắc chuỗi. Đặt $u = xy$, khi đó $frac{d}{dx}(sin(xy)) = cos(xy) cdot frac{d}{dx}(xy) = cos(xy) cdot y = y cos(xy)$. Cộng hai kết quả lại ta được đạo hàm riêng theo $x$. Kết luận Giải thích: $frac{partial f}{partial x} = 3x^2 y^2 + y cos(xy)$.