Bài tập, đề thi trắc nghiệm online Giải tích 2 – Đề 2

Khối trụ được xác định bởi miền cơ sở là hình tròn $x^2 + y^2 le 4$ trên mặt phẳng $xy$ và chiều cao từ $z=0$ đến $z=3$.\nMiền cơ sở là hình tròn có bán kính $r = sqrt{4} = 2$. Diện tích của miền cơ sở là $A = pi r^2 = pi (2^2) = 4pi$.\nChiều cao của khối trụ là $h = 3 - 0 = 3$.\nThể tích của khối trụ là $V = A times h = (4pi) times 3 = 12pi$.\nNgoài ra, có thể tính bằng tích phân ba lớp trong hệ tọa độ trụ. Miền được mô tả bởi $0 le r le 2$, $0 le theta le 2pi$, $0 le z le 3$. Thể tích $V = int_0^{2pi} int_0^2 int_0^3 r, dz, dr, dtheta$.\n$int_0^3 r, dz = [rz]_0^3 = 3r$.\n$int_0^2 3r, dr = [frac{3}{2}r^2]_0^2 = frac{3}{2}(2^2) - 0 = 6$.\n$int_0^{2pi} 6, dtheta = [6theta]_0^{2pi} = 6(2pi) - 0 = 12pi$.\nKết luận Giải thích: Thể tích của khối trụ là $12pi$.

Ta tính tích phân lặp trên miền chữ nhật $R = [1, 2] times [0, 1]$:\n$int_0^1 int_1^2 (x^2y + xy^2), dx, dy$\nTính tích phân bên trong theo $x$:\n$int_1^2 (x^2y + xy^2), dx = [frac{x^3}{3}y + frac{x^2}{2}y^2]_1^2$\n$= (frac{2^3}{3}y + frac{2^2}{2}y^2) - (frac{1^3}{3}y + frac{1^2}{2}y^2)$\n$= (frac{8}{3}y + 2y^2) - (frac{1}{3}y + frac{1}{2}y^2)$\n$= (frac{8}{3} - frac{1}{3})y + (2 - frac{1}{2})y^2 = frac{7}{3}y + frac{3}{2}y^2$\nBây giờ tính tích phân bên ngoài theo $y$:\n$int_0^1 (frac{7}{3}y + frac{3}{2}y^2), dy = [frac{7}{3} frac{y^2}{2} + frac{3}{2} frac{y^3}{3}]_0^1$\n$= [frac{7}{6}y^2 + frac{1}{2}y^3]_0^1$\n$= (frac{7}{6}(1)^2 + frac{1}{2}(1)^3) - (frac{7}{6}(0)^2 + frac{1}{2}(0)^3)$\n$= frac{7}{6} + frac{1}{2} = frac{7}{6} + frac{3}{6} = frac{10}{6} = frac{5}{3}$.\nKết luận Giải thích: Giá trị của tích phân là $frac{5}{3}.

Miền lấy tích phân là hình chữ nhật, nên ta có thể tính tích phân lặp: $iint_R xy, dA = int_1^2 int_0^1 xy, dy, dx$. Tính tích phân bên trong theo $y$ (coi $x$ là hằng số): $int_0^1 xy, dy = x int_0^1 y, dy = x left[ frac{y^2}{2} right]_0^1 = x left( frac{1^2}{2} - frac{0^2}{2} right) = x cdot frac{1}{2} = frac{x}{2}$. Bây giờ tính tích phân bên ngoài theo $x$: $int_1^2 frac{x}{2}, dx = frac{1}{2} int_1^2 x, dx = frac{1}{2} left[ frac{x^2}{2} right]_1^2 = frac{1}{2} left( frac{4}{2} - frac{1}{2} right) = frac{1}{2} left( 2 - frac{1}{2} right) = frac{1}{2} cdot frac{3}{2} = frac{3}{4}$. Kết luận Giải thích: Giá trị tích phân là $frac{3}{4}$.

Tìm giao điểm: $x^2 = x+2 Leftrightarrow x^2 - x - 2 = 0 Leftrightarrow (x-2)(x+1) = 0$. Giao điểm tại $x=-1$ và $x=2$. Trên đoạn $[-1, 2]$, đường $y=x+2$ nằm trên đường $y=x^2$. Diện tích là $int_{-1}^2 (x+2 - x^2), dx = left[ frac{x^2}{2} + 2x - frac{x^3}{3} right]_{-1}^2 = left( frac{4}{2} + 4 - frac{8}{3} right) - left( frac{1}{2} - 2 - frac{-1}{3} right) = left( 2 + 4 - frac{8}{3} right) - left( frac{1}{2} - 2 + frac{1}{3} right) = left( 6 - frac{8}{3} right) - left( -frac{3}{2} + frac{1}{3} right) = frac{10}{3} - left( frac{-9+2}{6} right) = frac{10}{3} - left( frac{-7}{6} right) = frac{10}{3} + frac{7}{6} = frac{20+7}{6} = frac{27}{6} = frac{9}{2}$. Kết luận Giải thích: Diện tích là $frac{9}{2}$.

Ta sử dụng tiêu chuẩn so sánh giới hạn. Xét chuỗi $sum_{n=1}^{infty} b_n = sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n}$. Chuỗi này là chuỗi điều hòa phân kỳ. Ta tính giới hạn $lim_{n to infty} frac{a_n}{b_n} = lim_{n to infty} frac{n/(n^2+1)}{1/n} = lim_{n to infty} frac{n^2}{n^2+1} = lim_{n to infty} frac{1}{1+1/n^2} = 1$. Vì giới hạn bằng 1 (một số dương hữu hạn) và chuỗi $sum b_n$ phân kỳ, nên chuỗi đã cho cũng phân kỳ. Kết luận Giải thích: Chuỗi phân kỳ.

Đường cong $r = 1 + costheta$ là một đường cardioid. Nó được vẽ hết một vòng khi $theta$ thay đổi từ $0$ đến $2pi$.\nCông thức tính diện tích trong hệ tọa độ cực là $A = frac{1}{2} int_{alpha}^{beta} r^2, dtheta$.\nVới cardioid này, ta lấy giới hạn tích phân từ $0$ đến $2pi$: $A = frac{1}{2} int_0^{2pi} (1 + costheta)^2, dtheta$.\nKhai triển biểu thức dưới dấu tích phân: $(1 + costheta)^2 = 1 + 2costheta + cos^2theta$.\nSử dụng công thức hạ bậc $cos^2theta = frac{1 + cos(2theta)}{2}$:\n$1 + 2costheta + frac{1 + cos(2theta)}{2} = 1 + 2costheta + frac{1}{2} + frac{1}{2}cos(2theta) = frac{3}{2} + 2costheta + frac{1}{2}cos(2theta)$.\nTính tích phân:\n$int_0^{2pi} (frac{3}{2} + 2costheta + frac{1}{2}cos(2theta)), dtheta = [frac{3}{2}theta + 2sintheta + frac{1}{2} cdot frac{1}{2}sin(2theta)]_0^{2pi}$\n$= [frac{3}{2}theta + 2sintheta + frac{1}{4}sin(2theta)]_0^{2pi}$\n$= (frac{3}{2}(2pi) + 2sin(2pi) + frac{1}{4}sin(4pi)) - (frac{3}{2}(0) + 2sin(0) + frac{1}{4}sin(0))$\n$= (3pi + 0 + 0) - (0 + 0 + 0) = 3pi$.\nNhân với $frac{1}{2}$ theo công thức:\n$A = frac{1}{2} (3pi) = frac{3pi}{2}$.\nKết luận Giải thích: Diện tích của miền phẳng là $frac{3pi}{2}.

Để tính đạo hàm riêng theo $x$, ta coi $y$ là hằng số. Áp dụng quy tắc đạo hàm: $frac{partial}{partial x}(x^3 y^2) = y^2 frac{partial}{partial x}(x^3) = y^2 (3x^2) = 3x^2 y^2$. Áp dụng quy tắc chuỗi cho $sin(xy)$: $frac{partial}{partial x}(sin(xy)) = cos(xy) cdot frac{partial}{partial x}(xy) = cos(xy) cdot y = ycos(xy)$. Cộng hai kết quả lại: $frac{partial f}{partial x}(x, y) = 3x^2 y^2 + ycos(xy)$. Kết luận Giải thích: $frac{partial f}{partial x}(x, y) = 3x^2 y^2 + ycos(xy)$.

Đây là phương trình vi phân phân ly biến số. Ta có thể viết lại thành $$y, dy = x, dx$$. Tích phân hai vế: $$int y, dy = int x, dx$$. $$frac{y^2}{2} = frac{x^2}{2} + C'$$, với $C'$ là hằng số tích phân. Nhân cả hai vế với 2: $$y^2 = x^2 + 2C'$$. Đặt $C = 2C'$ (vẫn là một hằng số tùy ý). $$y^2 = x^2 + C$$. Kết luận Giải thích: $$y^2 = x^2 + C$$.

Ta sử dụng Tiêu chuẩn Tỷ số (Ratio Test). Đặt $a_n = frac{(x-3)^n}{n}$.\nTa cần tính giới hạn $L = lim_{ntoinfty} |frac{a_{n+1}}{a_n}|$.\n$a_{n+1} = frac{(x-3)^{n+1}}{n+1}$.\n$frac{a_{n+1}}{a_n} = frac{(x-3)^{n+1}}{n+1} cdot frac{n}{(x-3)^n} = frac{(x-3)(x-3)^n}{n+1} cdot frac{n}{(x-3)^n} = (x-3) frac{n}{n+1}$.\nTính giới hạn:\n$L = lim_{ntoinfty} |(x-3) frac{n}{n+1}| = |x-3| lim_{ntoinfty} frac{n}{n+1} = |x-3| cdot 1 = |x-3|$.\nTheo Tiêu chuẩn Tỷ số, chuỗi hội tụ khi $L < 1$, tức là $|x-3| < 1$.\n$-1 < x-3 < 1$.\nCộng 3 vào tất cả các vế: $2 < x < 4$.\nBán kính hội tụ là $R=1$.\nBây giờ kiểm tra sự hội tụ tại hai điểm mút $x=2$ và $x=4$.\nTại $x=2$: Chuỗi trở thành $sum_{n=1}^{infty} frac{(2-3)^n}{n} = sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^n}{n}$. Đây là chuỗi điều hòa đan dấu, hội tụ theo Tiêu chuẩn Leibniz.\nTại $x=4$: Chuỗi trở thành $sum_{n=1}^{infty} frac{(4-3)^n}{n} = sum_{n=1}^{infty} frac{1^n}{n} = sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n}$. Đây là chuỗi điều hòa (p-series với $p=1$), phân kỳ.\nVậy, khoảng hội tụ là $[2, 4)$.\nKết luận Giải thích: Khoảng hội tụ là $[2, 4).

Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp một có dạng $y' + P(x)y = Q(x)$, với $P(x) = -2x$ và $Q(x) = x$. Hệ số tích phân là $e^{int P(x), dx} = e^{int -2x, dx} = e^{-x^2}$. Nhân cả hai vế của phương trình với hệ số tích phân: $e^{-x^2} y' - 2xe^{-x^2} y = xe^{-x^2}$. Vế trái là đạo hàm của $(y e^{-x^2})$ theo $x$. Do đó, $(y e^{-x^2})' = xe^{-x^2}$. Tích phân hai vế theo $x$: $y e^{-x^2} = int xe^{-x^2}, dx$. Để tính tích phân bên phải, đặt $u = -x^2$, suy ra $du = -2x, dx$, hay $x, dx = -frac{1}{2}, du$. Tích phân trở thành $int e^u left(-frac{1}{2}right), du = -frac{1}{2} int e^u, du = -frac{1}{2} e^u + C = -frac{1}{2} e^{-x^2} + C$. Vậy, $y e^{-x^2} = -frac{1}{2} e^{-x^2} + C$. Chia cả hai vế cho $e^{-x^2}$: $y = -frac{1}{2} + Ce^{x^2}$. Kết luận Giải thích: Nghiệm tổng quát là $y = -frac{1}{2} + Ce^{x^2}$.

Để tính đạo hàm riêng $$f_x(x, y)$$, ta coi y là hằng số và lấy đạo hàm theo x. $$f_x(x, y) = frac{partial}{partial x} (x^3y^2 + sin(xy))$$. Đạo hàm của $$x^3y^2$$ theo x là $$3x^2y^2$$ (vì $y^2$ là hằng số). Đạo hàm của $$ sin(xy)$$ theo x là $$ cos(xy) cdot frac{partial}{partial x}(xy) = cos(xy) cdot y$$ (sử dụng quy tắc chuỗi, coi y là hằng số). Vậy, $$f_x(x, y) = 3x^2y^2 + ycos(xy)$$. Kết luận Giải thích: $$f_x(x, y) = 3x^2y^2 + ycos(xy)$$.

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần: $$int u, dv = uv - int v, du$$. Đặt $u = x$, $dv = cos(x), dx$. Khi đó $du = dx$, $v = sin(x)$. Tích phân trở thành: $$left[ x sin(x) right]_0^{pi/2} - int_0^{pi/2} sin(x), dx = left[ x sin(x) right]_0^{pi/2} - left[ -cos(x) right]_0^{pi/2} = left( frac{pi}{2} sin(frac{pi}{2}) - 0 sin(0) right) - left( -cos(frac{pi}{2}) - (-cos(0)) right) = left( frac{pi}{2} cdot 1 - 0 right) - left( 0 - (-1) right) = frac{pi}{2} - 1$$. Kết luận Giải thích: $$frac{pi}{2} - 1$$.

Sử dụng tiêu chuẩn D'Alembert (tiêu chuẩn tỷ số). Đặt $a_n = frac{n}{2^n}$. Ta tính giới hạn $L = lim_{ntoinfty} left| frac{a_{n+1}}{a_n} right|$. $L = lim_{ntoinfty} left| frac{(n+1)/2^{n+1}}{n/2^n} right| = lim_{ntoinfty} left| frac{n+1}{2^{n+1}} cdot frac{2^n}{n} right| = lim_{ntoinfty} left| frac{n+1}{n} cdot frac{2^n}{2^{n+1}} right| = lim_{ntoinfty} left( frac{n+1}{n} cdot frac{1}{2} right) = lim_{ntoinfty} left( 1 + frac{1}{n} right) cdot frac{1}{2} = (1+0) cdot frac{1}{2} = frac{1}{2}$. Vì $L = frac{1}{2} < 1$, theo tiêu chuẩn D'Alembert, chuỗi đã cho hội tụ. Kết luận Giải thích: Chuỗi hội tụ.

Ta sử dụng Tiêu chuẩn Tỷ số (Ratio Test). Đặt $a_n = frac{2^n}{n!}$.\nTa cần tính giới hạn $L = lim_{ntoinfty} |frac{a_{n+1}}{a_n}|$.\n$a_{n+1} = frac{2^{n+1}}{(n+1)!}$.\n$frac{a_{n+1}}{a_n} = frac{2^{n+1}}{(n+1)!} cdot frac{n!}{2^n} = frac{2 cdot 2^n}{(n+1)n!} cdot frac{n!}{2^n} = frac{2}{n+1}$.\nTính giới hạn:\n$L = lim_{ntoinfty} |frac{2}{n+1}| = lim_{ntoinfty} frac{2}{n+1} = 0$.\nVì giới hạn $L = 0 < 1$, theo Tiêu chuẩn Tỷ số, chuỗi đã cho hội tụ tuyệt đối (do đó hội tụ).\nKết luận Giải thích: Chuỗi hội tụ.

Tích phân kép trên miền chữ nhật có thể tính bằng tích phân lặp: $$iint_R (x+y), dA = int_1^2 int_0^1 (x+y), dx, dy$$. Tính tích phân bên trong theo x: $$int_0^1 (x+y), dx = left[ frac{x^2}{2} + xy right]_0^1 = left( frac{1^2}{2} + 1cdot y right) - left( frac{0^2}{2} + 0cdot y right) = frac{1}{2} + y$$. Tính tích phân bên ngoài theo y: $$int_1^2 left( frac{1}{2} + y right), dy = left[ frac{1}{2}y + frac{y^2}{2} right]_1^2 = left( frac{1}{2}cdot 2 + frac{2^2}{2} right) - left( frac{1}{2}cdot 1 + frac{1^2}{2} right) = (1 + 2) - left( frac{1}{2} + frac{1}{2} right) = 3 - 1 = 2$$. Kết luận Giải thích: 2.