Bài tập, đề thi trắc nghiệm online Giải tích 3 – Đề 1

Đoạn thẳng $$C$$ nối $$(0, 0)$$ đến $$(1, 0)$$ có thể được tham số hóa bởi $$vec{r}(t) = left< t, 0 right>$$ với $$0 le t le 1$$. Ta có $$x(t) = t$$ và $$y(t) = 0$$. Vector đạo hàm là $$vec{r}'(t) = left< frac{dx}{dt}, frac{dy}{dt} right> = left< 1, 0 right>$$. Độ dài vi phân cung là $$ds = |vec{r}'(t)| , dt = sqrt{1^2 + 0^2} , dt = sqrt{1} , dt = 1 , dt$$. Hàm số dưới dấu tích phân trên đường cong $$C$$ là $$f(x(t), y(t)) = x(t) + y(t) = t + 0 = t$$. Tích phân đường trở thành $$int_C (x+y) , ds = int_0^1 t cdot 1 , dt = int_0^1 t , dt$$. Tính tích phân xác định: $$int_0^1 t , dt = left[ frac{t^2}{2} right]_0^1 = frac{1^2}{2} - frac{0^2}{2} = frac{1}{2} - 0 = frac{1}{2}$$. Kết luận Giải thích: Giá trị của tích phân đường là $$frac{1}{2}$$.

Để tìm đạo hàm riêng theo $$x$$, ta coi $$y$$ là hằng số. $$frac{partial f}{partial x} = frac{partial}{partial x}(x^3y^2) + frac{partial}{partial x}(sin(xy))$$. Áp dụng quy tắc đạo hàm: $$frac{partial}{partial x}(x^3y^2) = 3x^2y^2$$ và $$frac{partial}{partial x}(sin(xy)) = cos(xy) cdot frac{partial}{partial x}(xy) = ycos(xy)$$. Kết quả là $$3x^2y^2 + ycos(xy)$$. Kết luận Giải thích: Đạo hàm riêng $$frac{partial f}{partial x}$$ là $$3x^2y^2 + ycos(xy)$$.

Tích phân cần tính là $$int_1^2 int_0^1 xy^2 , dy , dx$$. Tính tích phân bên trong theo $$y$$: $$int_0^1 xy^2 , dy = x int_0^1 y^2 , dy = x left[ frac{y^3}{3} right]_0^1 = x left( frac{1^3}{3} - frac{0^3}{3} right) = frac{x}{3}$$. Bây giờ tính tích phân bên ngoài theo $$x$$: $$int_1^2 frac{x}{3} , dx = frac{1}{3} int_1^2 x , dx = frac{1}{3} left[ frac{x^2}{2} right]_1^2 = frac{1}{3} left( frac{2^2}{2} - frac{1^2}{2} right) = frac{1}{3} left( 2 - frac{1}{2} right) = frac{1}{3} left( frac{3}{2} right) = frac{1}{2}$$. Kết luận Giải thích: Giá trị của tích phân là $$frac{1}{2}$$.

Trường vector đã cho là $vec{F}(x, y, z) = P vec{i} + Q vec{j} + R vec{k}$, trong đó $P=xy^2$, $Q=yz^2$, $R=zx^2$.nDivergence của trường vector $vec{F}$ được tính bằng $nabla cdot vec{F} = frac{partial P}{partial x} + frac{partial Q}{partial y} + frac{partial R}{partial z}$.nTa tính các đạo hàm riêng:n$frac{partial P}{partial x} = frac{partial}{partial x}(xy^2) = y^2$n$frac{partial Q}{partial y} = frac{partial}{partial y}(yz^2) = z^2$n$frac{partial R}{partial z} = frac{partial}{partial z}(zx^2) = x^2$nDivergence là tổng của các đạo hàm riêng này:n$nabla cdot vec{F} = y^2 + z^2 + x^2$.nKết luận Giải thích: $y^2 + z^2 + x^2$

Vector gradient của $$f(x, y, z)$$ được định nghĩa là $$nabla f = left< frac{partial f}{partial x}, frac{partial f}{partial y}, frac{partial f}{partial z} right>$$. $$frac{partial f}{partial x} = 2xy - z^2$$ $$frac{partial f}{partial f}{partial y} = x^2 + 3y^2z$$ $$frac{partial f}{partial z} = y^3 - 2zx$$ Tại điểm $$P(1, -1, 2)$$, ta thay $$x=1, y=-1, z=2$$ vào các đạo hàm riêng: $$frac{partial f}{partial x}(1, -1, 2) = 2(1)(-1) - (2)^2 = -2 - 4 = -6$$ $$frac{partial f}{partial y}(1, -1, 2) = (1)^2 + 3(-1)^2(2) = 1 + 3(1)(2) = 1 + 6 = 7$$ $$frac{partial f}{partial z}(1, -1, 2) = (-1)^3 - 2(2)(1) = -1 - 4 = -5$$ Vector gradient tại $$P$$ là $$nabla f(1, -1, 2) = left< -6, 7, -5 right>$$. Kết luận Giải thích: Vector gradient tại $$P(1, -1, 2)$$ là $$left< -6, 7, -5 right>$$.

Miền tích phân là hình chữ nhật $R = [1, 2] times [0, 1]$, tức là $1 le x le 2$ và $0 le y le 1$. Ta tính tích phân lặp: $iint_R xy^2 , dA = int_1^2 int_0^1 xy^2 , dy , dx$. Tích phân bên trong: $int_0^1 xy^2 , dy = x [frac{y^3}{3}]_0^1 = x (frac{1}{3} - 0) = frac{x}{3}$. Tích phân bên ngoài: $int_1^2 frac{x}{3} , dx = frac{1}{3} [frac{x^2}{2}]_1^2 = frac{1}{3} (frac{2^2}{2} - frac{1^2}{2}) = frac{1}{3} (2 - frac{1}{2}) = frac{1}{3} cdot frac{3}{2} = frac{1}{2}$. Kết luận Giải thích: Giá trị của tích phân kép là $frac{1}{2}$.

Vector gradient của $f(x, y, z)$ là $nabla f = (frac{partial f}{partial x}, frac{partial f}{partial y}, frac{partial f}{partial z})$. Tính các đạo hàm riêng: $frac{partial f}{partial x} = ln(y)$, $frac{partial f}{partial y} = frac{x}{y} + 2yz^3$, $frac{partial f}{partial z} = 3y^2z^2$. Thay điểm $(1, 1, 1)$ vào các đạo hàm riêng: $frac{partial f}{partial x}(1, 1, 1) = ln(1) = 0$. $frac{partial f}{partial y}(1, 1, 1) = frac{1}{1} + 2(1)(1)^3 = 1 + 2 = 3$. $frac{partial f}{partial z}(1, 1, 1) = 3(1)^2(1)^2 = 3$. Vậy $nabla f(1, 1, 1) = (0, 3, 3)$. Kết luận Giải thích: Vector gradient tại điểm $(1, 1, 1)$ là $(0, 3, 3)$.

Đoạn thẳng $C$ từ $(0, 0)$ đến $(1, 1)$ có thể được tham số hóa bởi $vec{r}(t) = (t, t)$ với $0 le t le 1$. Khi đó, $x = t$, $y = t$, và $dvec{r} = vec{r}'(t) , dt = (1, 1) , dt$. Trường vector $vec{F}$ trên đường cong là $vec{F}(vec{r}(t)) = (t^2, t)$. Tích phân đường là $int_C vec{F} cdot dvec{r} = int_0^1 vec{F}(vec{r}(t)) cdot vec{r}'(t) , dt = int_0^1 (t^2, t) cdot (1, 1) , dt = int_0^1 (t^2 cdot 1 + t cdot 1) , dt = int_0^1 (t^2 + t) , dt$. Tính tích phân xác định: $int_0^1 (t^2 + t) , dt = [frac{t^3}{3} + frac{t^2}{2}]_0^1 = (frac{1^3}{3} + frac{1^2}{2}) - (frac{0^3}{3} + frac{0^2}{2}) = frac{1}{3} + frac{1}{2} = frac{2+3}{6} = frac{5}{6}$. Kết luận Giải thích: Giá trị của tích phân đường là $frac{5}{6}$.

Vector gradient của $f(x, y)$ là $nabla f = (frac{partial f}{partial x}, frac{partial f}{partial y})$. Ta có $frac{partial f}{partial x} = 2xy$ và $frac{partial f}{partial y} = x^2$. Tại điểm $(1, 2)$, $nabla f(1, 2) = (2(1)(2), 1^2) = (4, 1)$. Vector hướng $vec{v} = (3, 4)$ có độ dài $||vec{v}|| = sqrt{3^2 + 4^2} = 5$. Vector đơn vị theo hướng $vec{v}$ là $vec{u} = frac{vec{v}}{||vec{v}||} = (frac{3}{5}, frac{4}{5})$. Đạo hàm theo hướng là $D_{vec{u}}f(1, 2) = nabla f(1, 2) cdot vec{u} = (4, 1) cdot (frac{3}{5}, frac{4}{5}) = 4 cdot frac{3}{5} + 1 cdot frac{4}{5} = frac{12}{5} + frac{4}{5} = frac{16}{5}$. Kết luận Giải thích: Đạo hàm theo hướng là $frac{16}{5}$.

Vật thể được giới hạn bởi $$z=0$$ và $$z=4$$, nên $$0 le z le 4$$. Miền $$D$$ trong mặt phẳng $$xy$$ là vùng giới hạn bởi $$y = x^2$$ và $$y = 1$$. Giao điểm của $$y=x^2$$ và $$y=1$$ là khi $$x^2 = 1$$, tức là $$x = pm 1$$. Trên miền $$D$$, $$x$$ chạy từ $$-1$$ đến $$1$$. Với mỗi giá trị của $$x$$ trong khoảng này, $$y$$ chạy từ đường cong $$y = x^2$$ đến đường thẳng $$y = 1$$. Do đó, $$x^2 le y le 1$$. Tích phân bội ba cho thể tích là $$V = iiint_E dV = iint_D left( int_0^4 dz right) dA$$. Tích phân kép trên miền $$D$$ là $$iint_D 4 , dA = int_{-1}^1 int_{x^2}^1 4 , dy , dx$$. Thiết lập đầy đủ tích phân bội ba là $$int_{-1}^1 int_{x^2}^1 int_0^4 dz , dy , dx$$. Kết luận Giải thích: Tích phân bội ba để tính thể tích là $$int_{-1}^1 int_{x^2}^1 int_0^4 dz , dy , dx$$.

Gradient của hàm số $f(x, y, z)$ được tính bằng $nabla f = (frac{partial f}{partial x}, frac{partial f}{partial y}, frac{partial f}{partial z})$.nTa có:n$frac{partial f}{partial x} = frac{partial}{partial x}(x^2y + y^2z + z^2x) = 2xy + z^2$n$frac{partial f}{partial y} = frac{partial}{partial y}(x^2y + y^2z + z^2x) = x^2 + 2yz$n$frac{partial f}{partial z} = frac{partial}{partial z}(x^2y + y^2z + z^2x) = y^2 + 2zx$nVậy $nabla f = (2xy + z^2, x^2 + 2yz, y^2 + 2zx)$.nTại điểm $(1, 2, 3)$, ta thay $x=1, y=2, z=3$ vào:n$frac{partial f}{partial x}(1, 2, 3) = 2(1)(2) + 3^2 = 4 + 9 = 13$n$frac{partial f}{partial y}(1, 2, 3) = 1^2 + 2(2)(3) = 1 + 12 = 13$n$frac{partial f}{partial z}(1, 2, 3) = 2^2 + 2(3)(1) = 4 + 6 = 10$nVậy $nabla f(1, 2, 3) = (13, 13, 10)$.nKết luận Giải thích: $(13, 13, 10)$

Đoạn thẳng $C$ nối $(0,0)$ đến $(1,2)$ có thể được tham số hóa bởi $vec{r}(t) = (1-t)(0,0) + t(1,2) = (t, 2t)$ với $0 le t le 1$.nTa có $vec{r}'(t) = (1, 2)$.nĐộ dài cung vi phân là $ds = ||vec{r}'(t)|| , dt = sqrt{1^2 + 2^2} , dt = sqrt{1+4} , dt = sqrt{5} , dt$.nHàm dưới dấu tích phân là $f(x,y) = x^2+y^2$. Trên đường cong $C$, ta có $x=t$ và $y=2t$, nên $f(x(t), y(t)) = t^2 + (2t)^2 = t^2 + 4t^2 = 5t^2$.nTích phân đường trở thành:n$$int_C (x^2+y^2) , ds = int_0^1 (5t^2) sqrt{5} , dt = 5sqrt{5} int_0^1 t^2 , dt$$
$$int_0^1 t^2 , dt = left[ frac{t^3}{3} right]_0^1 = frac{1^3}{3} - frac{0^3}{3} = frac{1}{3}$$nVậy, tích phân đường là $5sqrt{5} cdot frac{1}{3} = frac{5sqrt{5}}{3}$.nKết luận Giải thích: $frac{5sqrt{5}}{3}$

Theo Định lý Green, tích phân đường $oint_C (P , dx + Q , dy)$ trên đường cong đóng đơn $C$ định hướng ngược chiều kim đồng hồ bằng tích phân kép $iint_D (frac{partial Q}{partial x} - frac{partial P}{partial y}) , dA$ trên miền $D$ được bao bởi $C$.nTrong bài toán này, $P = x^2y$ và $Q = xy^2$.nTa tính các đạo hàm riêng:n$frac{partial P}{partial y} = frac{partial}{partial y}(x^2y) = x^2$n$frac{partial Q}{partial x} = frac{partial}{partial x}(xy^2) = y^2$nHiệu các đạo hàm riêng là $frac{partial Q}{partial x} - frac{partial P}{partial y} = y^2 - x^2$.nMiền $D$ là đĩa tròn đơn vị $x^2+y^2 le 1$. Ta tính tích phân kép trên $D$:n$$iint_D (y^2 - x^2) , dA$$
Chuyển sang hệ tọa độ cực: $x = r costheta$, $y = r sintheta$, $dA = r , dr , dtheta$. Miền $D$ trong tọa độ cực là $0 le r le 1$, $0 le theta le 2pi$.nHàm dưới dấu tích phân trở thành $y^2 - x^2 = (r sintheta)^2 - (r costheta)^2 = r^2 sin^2theta - r^2 cos^2theta = -r^2(cos^2theta - sin^2theta) = -r^2 cos(2theta)$.nTích phân kép trở thành:n$$int_0^{2pi} int_0^1 (-r^2 cos(2theta)) r , dr , dtheta = int_0^{2pi} int_0^1 -r^3 cos(2theta) , dr , dtheta$$
Tính tích phân bên trong theo $r$:n$$int_0^1 -r^3 cos(2theta) , dr = -cos(2theta) int_0^1 r^3 , dr = -cos(2theta) left[ frac{r^4}{4} right]_0^1 = -cos(2theta) left(frac{1}{4} - 0right) = -frac{1}{4} cos(2theta)$$nTính tích phân bên ngoài theo $theta$:n$$int_0^{2pi} -frac{1}{4} cos(2theta) , dtheta = -frac{1}{4} left[ frac{sin(2theta)}{2} right]_0^{2pi} = -frac{1}{4} left( frac{sin(4pi)}{2} - frac{sin(0)}{2} right) = -frac{1}{4} (0 - 0) = 0$$
Kết luận Giải thích: $0$

Miền $D$ là hình chữ nhật xác định bởi $0 le x le 1$ và $0 le y le 2$.nTa có thể tính tích phân kép này dưới dạng tích phân lặp:n$$iint_D (x+2y) , dA = int_0^1 int_0^2 (x+2y) , dy , dx$$
Tính tích phân bên trong theo $y$:n$$int_0^2 (x+2y) , dy = left[ xy + y^2 right]_0^2 = (x(2) + 2^2) - (x(0) + 0^2) = 2x + 4$$
Bây giờ tính tích phân bên ngoài theo $x$:n$$int_0^1 (2x+4) , dx = left[ x^2 + 4x right]_0^1 = (1^2 + 4(1)) - (0^2 + 4(0)) = 1 + 4 = 5$$
Kết luận Giải thích: $5$

Để tính đạo hàm riêng cấp một $frac{partial f}{partial x}$, ta coi $y$ là hằng số và lấy đạo hàm theo $x$: $frac{partial f}{partial x} = frac{partial}{partial x}(x^3y^2) + frac{partial}{partial x}(sin(xy))$. frac{partial}{partial x}(x^3y^2) = 3x^2y^2$. frac{partial}{partial x}(sin(xy)) = cos(xy) cdot frac{partial}{partial x}(xy) = cos(xy) cdot y = ycos(xy)$. Vậy $frac{partial f}{partial x} = 3x^2y^2 + ycos(xy)$. Kết luận Giải thích: Đạo hàm riêng cấp một $frac{partial f}{partial x}$ là $3x^2y^2 + ycos(xy)$.