Trắc nghiệm Toán học 12 Chân trời bài 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Đề 2

Tập xác định của hàm số là $mathbb{R} setminus {1}$. Ta xét hàm số trên đoạn $[2; 4]$, đoạn này không chứa điểm $x=1$.nĐạo hàm: $f'(x) = frac{2(x-1) - (2x+1)(1)}{(x-1)^2} = frac{2x - 2 - 2x - 1}{(x-1)^2} = frac{-3}{(x-1)^2}$.nVới mọi $x in [2; 4]$, $f'(x) = frac{-3}{(x-1)^2} < 0$. Do đó, hàm số nghịch biến trên đoạn $[2; 4]$.nVì hàm số nghịch biến trên $[2; 4]$, giá trị lớn nhất đạt được tại điểm đầu mút bên trái, giá trị nhỏ nhất đạt được tại điểm đầu mút bên phải.nGiá trị lớn nhất: $f(2) = frac{2(2)+1}{2-1} = frac{5}{1} = 5$.nGiá trị nhỏ nhất: $f(4) = frac{2(4)+1}{4-1} = frac{9}{3} = 3$.nKết luận Giải thích: Giá trị lớn nhất của hàm số là 5 và giá trị nhỏ nhất là 3.

Tập xác định của hàm số là $$D = mathbb{R}$. Ta xét hàm số trên đoạn $[0; 2]$.nĐạo hàm: $$f'(x) = 3x^2 - 3$.nCho $$f'(x) = 0 Leftrightarrow 3x^2 - 3 = 0 Leftrightarrow x^2 = 1 Leftrightarrow x = pm 1$.nCác điểm cực trị thuộc đoạn $[0; 2]$ là $$x = 1$.nTính giá trị của hàm số tại các điểm mút và điểm cực trị:n$$f(0) = 0^3 - 3(0) + 1 = 1$.n$$f(1) = 1^3 - 3(1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1$.n$$f(2) = 2^3 - 3(2) + 1 = 8 - 6 + 1 = 3$.nSo sánh các giá trị $$f(0)=1, f(1)=-1, f(2)=3$.nGiá trị lớn nhất là 3, giá trị nhỏ nhất là -1.nKết luận Giải thích: $$max_{[0;2]} f(x) = 3, min_{[0;2]} f(x) = -1$

Tập xác định của hàm số là $[-2; 2]$. Ta xét hàm số trên đoạn $[-2; 2]$.nĐạo hàm: $$f'(x) = 1 cdot sqrt{4-x^2} + x cdot frac{-2x}{2sqrt{4-x^2}} = sqrt{4-x^2} - frac{x^2}{sqrt{4-x^2}}$ (với $$x in (-2; 2)$).n$$f'(x) = frac{(4-x^2) - x^2}{sqrt{4-x^2}} = frac{4-2x^2}{sqrt{4-x^2}}$ (với $$x in (-2; 2)$).nCho $$f'(x) = 0 Leftrightarrow 4-2x^2 = 0 Leftrightarrow 2x^2 = 4 Leftrightarrow x^2 = 2 Leftrightarrow x = pm sqrt{2}$.nCác điểm cực trị thuộc khoảng $(-2; 2)$ là $$x = sqrt{2}$ và $$x = -sqrt{2}$.nTính giá trị của hàm số tại các điểm mút và điểm cực trị:n$$f(-2) = -2sqrt{4-(-2)^2} = -2sqrt{0} = 0$.n$$f(-sqrt{2}) = -sqrt{2}sqrt{4-(-sqrt{2})^2} = -sqrt{2}sqrt{4-2} = -sqrt{2}sqrt{2} = -2$.n$$f(sqrt{2}) = sqrt{2}sqrt{4-(sqrt{2})^2} = sqrt{2}sqrt{4-2} = sqrt{2}sqrt{2} = 2$.n$$f(2) = 2sqrt{4-2^2} = 2sqrt{0} = 0$.nSo sánh các giá trị $$f(-2)=0, f(-sqrt{2})=-2, f(sqrt{2})=2, f(2)=0$.nGiá trị lớn nhất là 2.nKết luận Giải thích: $$ 2 $

Tập xác định của hàm số là $mathbb{R}$. Ta xét hàm số trên đoạn $[0; 2]$.nĐạo hàm: $f'(x) = 3x^2 - 3$.nCho $f'(x) = 0 Leftrightarrow 3x^2 - 3 = 0 Leftrightarrow x^2 = 1 Leftrightarrow x = pm 1$.nCác điểm cực trị thuộc đoạn $[0; 2]$ là $x = 1$.nTính giá trị của hàm số tại các điểm mút của đoạn và điểm cực trị thuộc đoạn:n$f(0) = 0^3 - 3(0) + 1 = 1$n$f(1) = 1^3 - 3(1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1$n$f(2) = 2^3 - 3(2) + 1 = 8 - 6 + 1 = 3$nSo sánh các giá trị $1, -1, 3$. Ta thấy giá trị lớn nhất là 3 và giá trị nhỏ nhất là -1.nKết luận Giải thích: Giá trị lớn nhất của hàm số là 3 và giá trị nhỏ nhất là -1.

Hàm số đã cho xác định khi $5 - 4x ge 0 Leftrightarrow 4x le 5 Leftrightarrow x le frac{5}{4}$.nĐoạn $[-1, 1]$ nằm hoàn toàn trong tập xác định của hàm số.nTa có đạo hàm $y' = frac{-4}{2sqrt{5 - 4x}} = frac{-2}{sqrt{5 - 4x}}$.nVới $x in [-1, 1]$, ta có $5 - 4x > 0$, nên $y' < 0$ với mọi $x in (-1, 1)$.nHàm số nghịch biến trên đoạn $[-1, 1]$.nGiá trị lớn nhất đạt tại điểm mút trái, giá trị nhỏ nhất đạt tại điểm mút phải.n$y(-1) = sqrt{5 - 4(-1)} = sqrt{5 + 4} = sqrt{9} = 3$.n$y(1) = sqrt{5 - 4(1)} = sqrt{5 - 4} = sqrt{1} = 1$.nSo sánh các giá trị $y(-1) = 3$ và $y(1) = 1$.nGiá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-1, 1]$ là $3$. Kết luận Giải thích: $y_{text{max}} = 3$

Tập xác định của hàm số là $$D = mathbb{R}$. Ta xét hàm số trên đoạn $[-1; 2]$.nĐạo hàm: $$f'(x) = 4x^3 - 4x$.nCho $$f'(x) = 0 Leftrightarrow 4x^3 - 4x = 0 Leftrightarrow 4x(x^2 - 1) = 0 Leftrightarrow 4x(x-1)(x+1) = 0$.nSuy ra $$x = 0$, $$x = 1$, hoặc $$x = -1$.nCác điểm cực trị thuộc đoạn $[-1; 2]$ là $$x = -1$, $$x = 0$, $$x = 1$.nTính giá trị của hàm số tại các điểm mút và điểm cực trị:n$$f(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$.n$$f(0) = 0^4 - 2(0)^2 + 3 = 0 - 0 + 3 = 3$.n$$f(1) = 1^4 - 2(1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$.n$$f(2) = 2^4 - 2(2)^2 + 3 = 16 - 8 + 3 = 11$.nSo sánh các giá trị $$f(-1)=2, f(0)=3, f(1)=2, f(2)=11$.nGiá trị nhỏ nhất là 2.nKết luận Giải thích: $$ 2 $

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn $[0, 2]$.nTa có đạo hàm $y' = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 4x(x - 1)(x + 1)$.nCho $y' = 0 Leftrightarrow 4x(x - 1)(x + 1) = 0$. Ta có các nghiệm $x = 0$, $x = 1$, $x = -1$.nCác điểm cực trị $x = 0$ và $x = 1$ thuộc đoạn $[0, 2]$. Điểm cực trị $x = -1$ không thuộc đoạn $[0, 2]$.nTính giá trị của hàm số tại các điểm mút và các điểm cực trị thuộc đoạn:n$y(0) = 0^4 - 2(0)^2 + 3 = 3$.n$y(1) = 1^4 - 2(1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$.n$y(2) = 2^4 - 2(2)^2 + 3 = 16 - 8 + 3 = 11$.nSo sánh các giá trị $y(0) = 3$, $y(1) = 2$, $y(2) = 11$.nGiá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[0, 2]$ là $max{3, 2, 11} = 11$. Kết luận Giải thích: $y_{text{max}} = 11$

Tập xác định của hàm số là $mathbb{R}$ vì $x^2 - 2x + 5 = (x-1)^2 + 4 > 0$ với mọi $x in mathbb{R}$. Ta xét hàm số trên đoạn $[0; 3]$.nXét hàm số $u(x) = x^2 - 2x + 5$ trên đoạn $[0; 3]$. Hàm số $f(x) = sqrt{u(x)}$ đồng biến khi $u(x)$ đồng biến và nghịch biến khi $u(x)$ nghịch biến (trên miền $u(x) > 0$). Do đó, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $f(x)$ trên $[0; 3]$ sẽ đạt được tại cùng các điểm mà $u(x)$ đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên $[0; 3]$.n$u'(x) = 2x - 2$. Cho $u'(x) = 0 Leftrightarrow 2x - 2 = 0 Leftrightarrow x = 1$. Điểm cực trị $x=1$ thuộc đoạn $[0; 3]$.nTính giá trị $u(x)$ tại các điểm mút và điểm cực trị:n$u(0) = 0^2 - 2(0) + 5 = 5$n$u(1) = 1^2 - 2(1) + 5 = 4$n$u(3) = 3^2 - 2(3) + 5 = 8$nGiá trị nhỏ nhất của $u(x)$ trên $[0; 3]$ là 4 (tại $x=1$), giá trị lớn nhất là 8 (tại $x=3$).nGiá trị nhỏ nhất của $f(x)$ là $sqrt{min u(x)} = sqrt{4} = 2$.nGiá trị lớn nhất của $f(x)$ là $sqrt{max u(x)} = sqrt{8} = 2sqrt{2}$.nKết luận Giải thích: Giá trị lớn nhất của hàm số là $2sqrt{2}$ và giá trị nhỏ nhất là 2.

Tập xác định của hàm số là $mathbb{R}$. Ta xét hàm số trên đoạn $[0; pi]$.nĐạo hàm: $f'(x) = cos(x) - sin(x)$.nCho $f'(x) = 0 Leftrightarrow cos(x) = sin(x)$. Vì $cos(x)=0$ không thỏa mãn phương trình này, ta chia cả hai vế cho $cos(x)$, ta được $tan(x) = 1$.nTrên đoạn $[0; pi]$, phương trình $tan(x) = 1$ có nghiệm duy nhất là $x = frac{pi}{4}$.nTính giá trị của hàm số tại các điểm mút của đoạn và điểm cực trị thuộc đoạn:n$f(0) = sin(0) + cos(0) = 0 + 1 = 1$n$f(frac{pi}{4}) = sin(frac{pi}{4}) + cos(frac{pi}{4}) = frac{sqrt{2}}{2} + frac{sqrt{2}}{2} = sqrt{2}$n$f(pi) = sin(pi) + cos(pi) = 0 + (-1) = -1$nSo sánh các giá trị $1, sqrt{2}, -1$. Ta thấy giá trị lớn nhất là $sqrt{2}$ và giá trị nhỏ nhất là -1.nKết luận Giải thích: Giá trị lớn nhất của hàm số là $sqrt{2}$ và giá trị nhỏ nhất là -1.

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn $[2, 4]$.nTa có đạo hàm $g'(x) = frac{(2x - 3)(x - 1) - (x^2 - 3x + 6)(1)}{(x - 1)^2} = frac{2x^2 - 2x - 3x + 3 - x^2 + 3x - 6}{(x - 1)^2} = frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2}$.nCho $g'(x) = 0 Leftrightarrow x^2 - 2x - 3 = 0$. Phương trình bậc hai có hai nghiệm $x = -1$ và $x = 3$.nĐiểm cực trị $x = -1$ không thuộc đoạn $[2, 4]$. Điểm cực trị $x = 3$ thuộc đoạn $[2, 4]$.nTính giá trị của hàm số tại các điểm mút và điểm cực trị thuộc đoạn:n$g(2) = frac{2^2 - 3(2) + 6}{2 - 1} = frac{4 - 6 + 6}{1} = 4$.n$g(3) = frac{3^2 - 3(3) + 6}{3 - 1} = frac{9 - 9 + 6}{2} = 3$.n$g(4) = frac{4^2 - 3(4) + 6}{4 - 1} = frac{16 - 12 + 6}{3} = frac{10}{3}$.nSo sánh các giá trị $g(2) = 4$, $g(3) = 3$, $g(4) = frac{10}{3} approx 3.33$.nGiá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[2, 4]$ là $min{4, 3, frac{10}{3}} = 3$. Kết luận Giải thích: $g_{text{min}} = 3$

Tập xác định của hàm số là $mathbb{R}$. Ta xét hàm số trên đoạn $[-1; 2]$.nĐạo hàm: $f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 4x(x-1)(x+1)$.nCho $f'(x) = 0 Leftrightarrow 4x(x-1)(x+1) = 0 Leftrightarrow x = 0, x = 1, x = -1$.nCác điểm cực trị thuộc đoạn $[-1; 2]$ là $x = -1, x = 0, x = 1$.nTính giá trị của hàm số tại các điểm mút của đoạn và điểm cực trị thuộc đoạn:nCác điểm cần xét là $-1, 0, 1, 2$.n$f(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$n$f(0) = 0^4 - 2(0)^2 + 3 = 0 - 0 + 3 = 3$n$f(1) = 1^4 - 2(1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$n$f(2) = 2^4 - 2(2)^2 + 3 = 16 - 8 + 3 = 11$nSo sánh các giá trị $2, 3, 2, 11$. Ta thấy giá trị lớn nhất là 11 và giá trị nhỏ nhất là 2.nKết luận Giải thích: Giá trị lớn nhất của hàm số là 11 và giá trị nhỏ nhất là 2.

Tập xác định của hàm số là $$D = mathbb{R} setminus {1}$. Ta xét hàm số trên đoạn $[2; 4]$.nĐạo hàm: $$f'(x) = frac{2(x-1) - (2x+1)(1)}{(x-1)^2} = frac{2x - 2 - 2x - 1}{(x-1)^2} = frac{-3}{(x-1)^2}$.nVới mọi $$x in [2; 4]$, ta có $$f'(x) = frac{-3}{(x-1)^2} < 0$.nSuy ra hàm số nghịch biến trên đoạn $[2; 4]$.nDo đó, giá trị lớn nhất đạt tại điểm đầu mút trái và giá trị nhỏ nhất đạt tại điểm đầu mút phải.n$$f(2) = frac{2(2)+1}{2-1} = frac{5}{1} = 5$.n$$f(4) = frac{2(4)+1}{4-1} = frac{9}{3} = 3$.nGiá trị lớn nhất là 5, giá trị nhỏ nhất là 3.nKết luận Giải thích: $$max_{[2;4]} f(x) = 5, min_{[2;4]} f(x) = 3$

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn $[1, 3]$ (vì $x ne 0$).nTa có đạo hàm $h'(x) = 1 - frac{4}{x^2}$.nCho $h'(x) = 0 Leftrightarrow 1 - frac{4}{x^2} = 0 Leftrightarrow frac{x^2 - 4}{x^2} = 0 Leftrightarrow x^2 - 4 = 0$ (với $x ne 0$).n$x^2 = 4 Leftrightarrow x = pm 2$.nĐiểm cực trị $x = -2$ không thuộc đoạn $[1, 3]$. Điểm cực trị $x = 2$ thuộc đoạn $[1, 3]$.nTính giá trị của hàm số tại các điểm mút và điểm cực trị thuộc đoạn:n$h(1) = 1 + frac{4}{1} = 1 + 4 = 5$.n$h(2) = 2 + frac{4}{2} = 2 + 2 = 4$.n$h(3) = 3 + frac{4}{3} = frac{9}{3} + frac{4}{3} = frac{13}{3}$.nSo sánh các giá trị $h(1) = 5$, $h(2) = 4$, $h(3) = frac{13}{3} approx 4.33$.nGiá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[1, 3]$ là $min{5, 4, frac{13}{3}} = 4$. Kết luận Giải thích: $h_{text{min}} = 4$

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn $[-2, 2]$.nTa có đạo hàm $f'(x) = 3x^2 - 3$. Cho $f'(x) = 0 Leftrightarrow 3x^2 - 3 = 0 Leftrightarrow x^2 = 1 Leftrightarrow x = pm 1$.nCác điểm cực trị $x = -1$ và $x = 1$ đều thuộc đoạn $[-2, 2]$.nTính giá trị của hàm số tại các điểm mút và các điểm cực trị:n$f(-2) = (-2)^3 - 3(-2) + 1 = -8 + 6 + 1 = -1$.n$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3$.n$f(1) = (1)^3 - 3(1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1$.n$f(2) = (2)^3 - 3(2) + 1 = 8 - 6 + 1 = 3$.nSo sánh các giá trị $f(-2) = -1$, $f(-1) = 3$, $f(1) = -1$, $f(2) = 3$.nGiá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-2, 2]$ là $max{-1, 3, -1, 3} = 3$. Kết luận Giải thích: $f_{text{max}} = 3$

Tập xác định của hàm số là $$D = mathbb{R}$. Ta xét hàm số trên đoạn $[0; pi]$.nĐạo hàm: $$f'(x) = cos x - sin x$.nCho $$f'(x) = 0 Leftrightarrow cos x = sin x$.nTrên đoạn $[0; pi]$, phương trình này tương đương với $$x = frac{pi}{4}$.nTính giá trị của hàm số tại các điểm mút và điểm cực trị:n$$f(0) = sin 0 + cos 0 = 0 + 1 = 1$.n$$f(frac{pi}{4}) = sin frac{pi}{4} + cos frac{pi}{4} = frac{sqrt{2}}{2} + frac{sqrt{2}}{2} = sqrt{2}$.n$$f(pi) = sin pi + cos pi = 0 + (-1) = -1$.nSo sánh các giá trị $$f(0)=1, f(frac{pi}{4})=sqrt{2}, f(pi)=-1$.nGiá trị lớn nhất là $sqrt{2}$.nKết luận Giải thích: $$ sqrt{2} $