1. Cho hàm $f(x, y) = e^{x^2 + y^2}$. Tính $\frac{\partial f}{\partial x}$.
A. $2xe^{x^2 + y^2}$
B. $2ye^{x^2 + y^2}$
C. $e^{x^2 + y^2}$
D. $2x + 2y$
2. Tìm miền hội tụ của chuỗi $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$.
A. $(-1, 1)$
B. $[-1, 1)$
C. $(-1, 1]$
D. $[-1, 1]$
3. Cho hàm $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$. Tìm điểm dừng của hàm số.
A. (0, 0) và (1, 1)
B. (0, 0) và (-1, -1)
C. (1, 0) và (0, 1)
D. (-1, 0) và (0, -1)
4. Tìm cực trị của hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2$.
A. Hàm số có cực tiểu tại (0, 0).
B. Hàm số có cực đại tại (0, 0).
C. Hàm số không có cực trị.
D. Hàm số có điểm yên ngựa tại (0, 0).
5. Tìm cực trị của hàm số $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3x - 12y$.
A. Hàm số có cực đại tại (-1, -2) và cực tiểu tại (1, 2).
B. Hàm số có cực đại tại (1, 2) và cực tiểu tại (-1, -2).
C. Hàm số có cực đại tại (-1, 2) và cực tiểu tại (1, -2).
D. Hàm số có cực đại tại (1, -2) và cực tiểu tại (-1, 2).
6. Tính tích phân $\int_0^{\infty} e^{-x} dx$.
A. 1
B. 0
C. $\infty$
D. -1
7. Tìm vi phân toàn phần của hàm $z = x^2y + xy^2$.
A. $dz = (2xy + y^2)dx + (x^2 + 2xy)dy$
B. $dz = (x^2 + 2xy)dx + (2xy + y^2)dy$
C. $dz = (2x + 2y)dx + (2x + 2y)dy$
D. $dz = (2xy)dx + (2xy)dy$
8. Cho hàm số $f(x,y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5$. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số.
9. Tính đạo hàm riêng của $f(x, y) = x^3 + xy^2$ theo $x$.
A. $3x^2 + y^2$
B. $x^2 + 2xy$
C. $3x^2 + 2xy$
D. $3x^2$
10. Tìm nghiệm của phương trình vi phân $y` = 2x$.
A. $y = x^2 + C$
B. $y = 2x^2 + C$
C. $y = x + C$
D. $y = 2 + C$
11. Tính giới hạn $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2y}{x^4 + y^2}$.
A. 0
B. 1
C. $\frac{1}{2}$
D. Không tồn tại
12. Tính diện tích mặt $\iint_S dS$, với $S$ là mặt cầu $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$.
A. $4\pi R^2$
B. $2\pi R^2$
C. $\pi R^2$
D. $\frac{4}{3}\pi R^3$
13. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình $y`` + y = 0$.
A. $y = C_1\cos(x) + C_2\sin(x)$
B. $y = C_1e^x + C_2e^{-x}$
C. $y = C_1e^x + C_2xe^x$
D. $y = C_1\cos(x)$
14. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $r = a(1 + \cos\theta)$ (cardioid).
A. $\frac{3\pi a^2}{2}$
B. $\frac{\pi a^2}{2}$
C. $3\pi a^2$
D. $\pi a^2$
15. Tính tích phân lặp $\int_0^1 \int_0^2 xy dx dy$.
16. Tìm nghiệm của phương trình vi phân $y`` - 3y` + 2y = 0$.
A. $y = C_1e^x + C_2e^{2x}$
B. $y = C_1e^{-x} + C_2e^{-2x}$
C. $y = C_1e^x + C_2xe^x$
D. $y = C_1e^{2x} + C_2xe^{2x}$
17. Cho hàm số $f(x, y) = x^2y$. Tính tích phân $\int_0^1 \int_0^x f(x, y) dy dx$.
A. $\frac{1}{10}$
B. $\frac{1}{5}$
C. $\frac{1}{2}$
D. 1
18. Tính tích phân đường $\int_C x ds$, với $C$ là đoạn thẳng nối (0,0) và (1,1).
A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
B. $\sqrt{2}$
C. 1
D. 2
19. Cho $F(x, y) = (2x, 2y)$. Tính $\oint_C F \cdot dr$ với $C$ là đường tròn $x^2 + y^2 = 1$.
A. 0
B. $\pi$
C. $2\pi$
D. $4\pi$
20. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = x$.
A. $\frac{1}{6}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{2}{3}$
21. Tính $\int \frac{1}{x} dx$.
A. $\ln|x| + C$
B. $\frac{1}{x^2} + C$
C. $-\frac{1}{x^2} + C$
D. $x + C$
22. Tính tích phân $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx$.
A. $\frac{\pi}{2}$
B. $\pi$
C. $\frac{\pi}{4}$
D. $\frac{3\pi}{2}$
23. Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 1: $y` + y = e^{-x}$.
A. $y = (x + C)e^{-x}$
B. $y = e^{-x} + C$
C. $y = xe^{-x} + C$
D. $y = (C - x)e^{-x}$
24. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = 4$ quanh trục Oy.
A. $8\pi$
B. $16\pi$
C. $32\pi$
D. $64\pi$
25. Tìm đạo hàm của hàm số $y = \ln(\sin(x))$.
A. $\cot(x)$
B. $\tan(x)$
C. $\frac{1}{\sin(x)}$
D. $\frac{1}{\cos(x)}$
26. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân $y` + 2y = x$.
A. $y = \frac{x}{2} - \frac{1}{4} + Ce^{-2x}$
B. $y = \frac{x}{2} + \frac{1}{4} + Ce^{-2x}$
C. $y = \frac{x}{2} - \frac{1}{4} + C$
D. $y = \frac{x}{2} + \frac{1}{4} + C$
27. Tính tích phân bất định $\int x \cos(x) dx$.
A. $x\sin(x) + \cos(x) + C$
B. $x\sin(x) - \cos(x) + C$
C. $x\cos(x) + \sin(x) + C$
D. $x\cos(x) - \sin(x) + C$
28. Cho hàm số $f(x,y) = x^2y^3 + e^{xy}$. Tính $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$.
A. $3x^2y^2 + e^{xy} + xe^{xy}$
B. $6xy^2 + xe^{xy}$
C. $6xy^2 + e^{xy} + xe^{xy}$
D. $2xy^3 + ye^{xy}$
29. Tính tích phân $\int_0^1 x^2 dx$.
A. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{1}{3}$
C. 1
D. $\frac{1}{2}$
30. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{n^n} x^n$.
A. $e$
B. 1
C. $\frac{1}{e}$
D. $\infty$
