1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^3$ và $y = \sqrt{x}$.
A. $\frac{5}{12}$
B. $\frac{7}{12}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{2}{3}$
2. Tính $\iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S}$, với $\vec{F}(x, y, z) = (x, y, z)$ và $S$ là mặt cầu $x^2 + y^2 + z^2 = 1$.
A. $\frac{4\pi}{3}$
B. $4\pi$
C. $\frac{2\pi}{3}$
D. 0
3. Cho $f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2$ và $g(x, y, z) = x + y + z = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $f$ với điều kiện $g = 1$.
A. $\frac{1}{3}$
B. 1
C. 3
D. $\frac{1}{9}$
4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^n}{n3^n}$.
A. $\left[-1, 5\right)$
B. $\left(-1, 5\right]$
C. $\left(-1, 5\right)$
D. $\left[-1, 5\right]$
5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x^2$ và $y = 2x$.
A. $\frac{2}{3}$
B. $\frac{4}{3}$
C. $\frac{5}{3}$
D. $\frac{1}{3}$
6. Tính công của trường vector $\vec{F}(x, y) = (y, x)$ dọc theo đường tròn $x^2 + y^2 = 1$ theo chiều dương.
A. $\pi$
B. 0
C. $2\pi$
D. 1
7. Tìm gradient của hàm $f(x, y, z) = x^2yz + xy^2z + xyz^2$ tại điểm $(1, 1, 1)$.
A. $(4, 4, 4)$
B. $(1, 1, 1)$
C. $(2, 2, 2)$
D. $(3, 3, 3)$
8. Cho hàm $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$. Tìm các điểm dừng của hàm số.
A. $(0, 0)$ và $(1, 1)$
B. $(0, 0)$ và $(-1, -1)$
C. $(1, 0)$ và $(0, 1)$
D. Không có điểm dừng
9. Cho $\vec{F}(x, y, z) = (2x, 2y, 2z)$. Tính $\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r}$, với $C$ là đường cong bất kỳ nối $(0, 0, 0)$ và $(1, 1, 1)$.
10. Tính tích phân $\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx$.
A. $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$
B. $\sqrt{\pi}$
C. $\frac{\pi}{2}$
D. $\pi$
11. Tìm cực trị của hàm $f(x, y) = x^2 + y^2 - xy$ với điều kiện $x + y = 1$.
A. $\frac{1}{3}$
B. 1
C. 2
D. $\frac{1}{4}$
12. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân $\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = xy$.
A. $u(x, y) = \frac{1}{4}x^2y^2 + F(x) + G(y)$
B. $u(x, y) = \frac{1}{4}x^2y^2 + F(x)G(y)$
C. $u(x, y) = \frac{1}{4}x^2y^2$
D. $u(x, y) = F(x) + G(y)$
13. Tính $\iiint_V dxdydz$, với $V$ là vật thể giới hạn bởi $x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0$ và $x + y + z \le 1$.
A. $\frac{1}{6}$
B. 1
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{1}{3}$
14. Tính tích phân đường loại 2 $\int_C (x^2 + y^2) dx + 2xy dy$, với $C$ là đoạn thẳng từ $(0,0)$ đến $(1,1)$.
A. $\frac{4}{3}$
B. $\frac{2}{3}$
C. $\frac{5}{3}$
D. 1
15. Tìm cực trị của hàm $f(x, y) = x^2 + y^2$ với điều kiện $x + y = 1$.
A. $\frac{1}{2}$
B. 1
C. 2
D. $\frac{1}{4}$
16. Tìm đạo hàm của hàm $f(x, y) = x^2 + xy + y^2$ theo hướng vector $\vec{v} = (1, 1)$ tại điểm $(1, 2)$.
A. $\frac{7\sqrt{2}}{2}$
B. $7\sqrt{2}$
C. $\frac{5\sqrt{2}}{2}$
D. $5\sqrt{2}$
17. Tính diện tích mặt $z = x^2 + y^2$ nằm dưới mặt phẳng $z = 4$.
A. $\frac{\pi}{6}(17\sqrt{17} - 1)$
B. $\frac{\pi}{3}(17\sqrt{17} - 1)$
C. $\frac{\pi}{6}(17\sqrt{17} + 1)$
D. $\frac{\pi}{3}(17\sqrt{17} + 1)$
18. Cho hàm $f(x,y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5$. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số.
19. Tính $\int_C x^2 y ds$, với $C$ là đoạn thẳng nối $(0,0)$ và $(1,2)$.
A. $\frac{1}{5}$
B. $\frac{4\sqrt{5}}{5}$
C. $\frac{8\sqrt{5}}{15}$
D. $\frac{2}{5}$
20. Tính $\int_C (x+y) dx + (y-x) dy$, với $C$ là đường tròn $x^2 + y^2 = 1$ theo chiều dương.
A. $\pi$
B. 0
C. $-\pi$
D. $2\pi$
21. Tính giới hạn $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^2y}{x^4 + y^2}$.
A. Giới hạn không tồn tại
B. 0
C. 1
D. $\infty$
22. Cho $F(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - 1$. Tìm vector pháp tuyến của mặt $F(x, y, z) = 0$ tại điểm $(x_0, y_0, z_0)$.
A. $\vec{n} = (x_0, y_0, z_0)$
B. $\vec{n} = (2x_0, 2y_0, 2z_0)$
C. $\vec{n} = (x_0^2, y_0^2, z_0^2)$
D. $\vec{n} = (1, 1, 1)$
23. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi $z = x^2 + y^2$ và $z = 2 - x^2 - y^2$.
A. $\pi$
B. $\frac{\pi}{2}$
C. $2\pi$
D. $\frac{3\pi}{2}$
24. Tính tích phân $\int_{0}^{1} \int_{x}^{1} e^{y^2} dy dx$.
A. $\frac{e-1}{2}$
B. $\frac{e}{2}$
C. $e-1$
D. $e$
25. Cho hàm $f(x, y) = x^2 + y^2 + xy$. Xác định tính chất của điểm dừng $(0, 0)$.
A. Điểm cực tiểu
B. Điểm cực đại
C. Điểm yên ngựa
D. Không phải điểm dừng
26. Cho hàm $f(x, y) = \begin{cases} \frac{xy}{x^2 + y^2}, & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0, & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$. Hàm số có liên tục tại $(0, 0)$ không?
A. Liên tục
B. Không liên tục
C. Không xác định
D. Vừa liên tục vừa không liên tục
27. Tính tích phân $\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} (x^2 + y^2) dy dx$.
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{1}{4}$
C. $\frac{2}{3}$
D. $\frac{3}{4}$
28. Tính $\iint_D (x+y) dA$, với D là miền giới hạn bởi $y=x^2$ và $y=x$.
A. $\frac{1}{12}$
B. $\frac{1}{6}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{5}{12}$
29. Cho hàm $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3x - 3y$. Tìm các điểm cực trị của hàm số.
A. $(1, 1), (-1, -1), (1, -1), (-1, 1)$
B. $(1, 1), (-1, -1)$
C. $(1, -1), (-1, 1)$
D. $(0, 0)$
30. Cho hàm $f(x,y) = e^{x^2 + y^2}$. Tìm đạo hàm theo hướng của $\vec{v} = (1,1)$ tại điểm $(0,0)$.
A. $\sqrt{2}$
B. 0
C. 1
D. 2
