1. Cho hệ phương trình tuyến tính $Ax = b$. Điều kiện nào sau đây đảm bảo hệ có nghiệm duy nhất?
A. det(A) = 0
B. det(A) ≠ 0
C. rank(A) < rank([A|b])
D. rank(A) > rank([A|b])
2. Cho không gian vectơ $V$. Tập hợp con $W$ của $V$ là một không gian con của $V$ nếu nó thỏa mãn những điều kiện nào?
A. $W$ đóng với phép cộng vectơ và phép nhân với một số vô hướng.
B. $W$ chỉ đóng với phép cộng vectơ.
C. $W$ chỉ đóng với phép nhân với một số vô hướng.
D. $W$ không chứa vectơ không.
3. Cho ánh xạ tuyến tính $T: V
ightarrow W$. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. $T(vec{u} + vec{v}) = T(vec{u}) - T(vec{v})$
B. $T(cvec{u}) = c + T(vec{u})$
C. $T(vec{0}) = vec{0}$
D. $T(vec{u} + vec{v}) = T(vec{u}) cdot T(vec{v})$
4. Cho $A$ là ma trận vuông. Khi nào thì các cột của $A$ độc lập tuyến tính?
A. Khi det(A) = 0.
B. Khi det(A) ≠ 0.
C. Khi A có ít nhất một hàng toàn số 0.
D. Khi A là ma trận tam giác.
5. Cho $A$ là ma trận vuông. Điều kiện nào sau đây tương đương với việc $A$ là ma trận trực giao?
A. $A = A^T$
B. $A = -A^T$
C. $AA^T = I$
D. $A + A^T = I$
6. Giá trị riêng của ma trận $A$ là gì?
A. Các giá trị mà tại đó định thức của $(A - lambda I)$ bằng 0.
B. Các vectơ khác 0 $vec{v}$ sao cho $Avec{v} = lambda vec{v}$.
C. Các vectơ khác không $vec{v}$ sao cho $Avec{v} = 0$.
D. Các giá trị mà tại đó định thức của $A$ bằng 0.
7. Cho ma trận $A = egin{bmatrix} 2 & 1 \ 1 & 2 end{bmatrix}$. Tìm một vectơ riêng của $A$.
A. $egin{bmatrix} 1 \ 1 end{bmatrix}$
B. $egin{bmatrix} 1 \ 0 end{bmatrix}$
C. $egin{bmatrix} 0 \ 1 end{bmatrix}$
D. $egin{bmatrix} 1 \ -1 end{bmatrix}$
8. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Nếu $A$ khả nghịch thì ma trận nghịch đảo của $A$ ký hiệu là gì?
A. $-A$
B. $A^T$
C. $A^{-1}$
D. $adj(A)$
9. Cho $A$ là ma trận vuông. Nếu $A^T = -A$, thì $A$ được gọi là ma trận gì?
A. Ma trận đối xứng
B. Ma trận phản đối xứng
C. Ma trận trực giao
D. Ma trận khả nghịch
10. Cho $A$ là ma trận $m imes n$. Khi nào thì hệ phương trình $Ax = 0$ có nghiệm không tầm thường?
A. rank(A) = n
B. rank(A) = m
C. rank(A) < n
D. rank(A) > n
11. Khi nào hai ma trận $A$ và $B$ được gọi là đồng dạng?
A. Khi chúng có cùng kích thước.
B. Khi chúng có cùng định thức.
C. Khi tồn tại ma trận khả nghịch $P$ sao cho $B = P^{-1}AP$.
D. Khi chúng có cùng hạng.
12. Cho $V$ là không gian vectơ các đa thức bậc không quá 2. Tìm một cơ sở của $V$.
A. {1, $x$, $x^2$}
B. {1, $x$, $x^3$}
C. {$x$, $x^2$}
D. {1, $x$}
13. Cho $T: mathbb{R}^2
ightarrow mathbb{R}^2$ là phép quay quanh gốc tọa độ một góc $ heta$. Ma trận biểu diễn của $T$ là gì?
A. $egin{bmatrix} cos( heta) & -sin( heta) \ sin( heta) & cos( heta) end{bmatrix}$
B. $egin{bmatrix} sin( heta) & cos( heta) \ cos( heta) & -sin( heta) end{bmatrix}$
C. $egin{bmatrix} cos( heta) & sin( heta) \ -sin( heta) & cos( heta) end{bmatrix}$
D. $egin{bmatrix} sin( heta) & -cos( heta) \ cos( heta) & sin( heta) end{bmatrix}$
14. Cho ma trận $A = egin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 end{bmatrix}$. Tính định thức của $A$.
15. Ma trận nào sau đây là ma trận đơn vị?
A. $egin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & 1 end{bmatrix}$
B. $egin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{bmatrix}$
C. $egin{bmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 end{bmatrix}$
D. $egin{bmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 end{bmatrix}$
16. Cho $A$ là ma trận vuông. Khi nào thì $A$ chéo hóa được?
A. Khi $A$ có các giá trị riêng phân biệt.
B. Khi tổng số chiều của các không gian riêng của $A$ bằng cấp của $A$.
C. Khi $A$ là ma trận đối xứng.
D. Tất cả các đáp án trên.
17. Cho $A$ là ma trận vuông. Vết của $A$ (tr(A)) được định nghĩa như thế nào?
A. Tổng các phần tử trên đường chéo chính của $A$.
B. Tích các phần tử trên đường chéo chính của $A$.
C. Định thức của $A$.
D. Hạng của $A$.
18. Cho hai vectơ $vec{u} = (1, 2)$ và $vec{v} = (3, 4)$. Tính tích vô hướng của $vec{u}$ và $vec{v}$.
19. Trong không gian vectơ $mathbb{R}^3$, tích có hướng của hai vectơ $vec{u}$ và $vec{v}$ là một vectơ như thế nào?
A. Song song với cả $vec{u}$ và $vec{v}$.
B. Vuông góc với $vec{u}$ nhưng song song với $vec{v}$.
C. Vuông góc với cả $vec{u}$ và $vec{v}$.
D. Song song với $vec{u}$ nhưng vuông góc với $vec{v}$.
20. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ và $c$ là một số vô hướng. Khi đó, $det(cA)$ bằng gì?
A. $c cdot det(A)$
B. $c^n cdot det(A)$
C. $det(A)^c$
D. $c^n + det(A)$
21. Cho không gian vectơ $V$ và $W$. Một ánh xạ $T: V
ightarrow W$ được gọi là tuyến tính nếu nó thỏa mãn điều kiện nào?
A. $T(avec{u} + bvec{v}) = aT(vec{u}) + bT(vec{v})$ với mọi $vec{u}, vec{v} in V$ và $a, b$ là các số vô hướng.
B. $T(vec{u} + vec{v}) = T(vec{u})T(vec{v})$
C. $T(avec{u}) = a + T(vec{u})$
D. $T(vec{0}) = vec{1}$
22. Cho $A$ và $B$ là hai ma trận vuông cùng cấp. Phát biểu nào sau đây luôn đúng?
A. $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$
B. $(A + B)(A - B) = A^2 - B^2$
C. det(A + B) = det(A) + det(B)
D. $(A + B)^T = A^T + B^T$
23. Cho hai không gian vectơ $V$ và $W$, và ánh xạ tuyến tính $T: V
ightarrow W$. Hạt nhân (kernel) của $T$ là gì?
A. Tập hợp tất cả các vectơ $vec{v} in V$ sao cho $T(vec{v}) = vec{0}$.
B. Tập hợp tất cả các vectơ $vec{w} in W$ sao cho $T(vec{v}) = vec{w}$ với một số $vec{v} in V$.
C. Ảnh của $V$ qua $T$.
D. Số chiều của $V$.
24. Cho $A$ là ma trận vuông thỏa mãn $A^2 = A$. Khi đó, ma trận $A$ được gọi là gì?
A. Ma trận lũy linh
B. Ma trận đối xứng
C. Ma trận xạ ảnh (idempotent)
D. Ma trận trực giao
25. Tìm hạng của ma trận $A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 2 & 4 & 6 \ 3 & 6 & 9 end{bmatrix}$.
26. Cho $A$ là ma trận vuông. Điều kiện nào sau đây là cần và đủ để $A$ khả nghịch?
A. det(A) = 0
B. det(A) ≠ 0
C. rank(A) < n
D. A có một hàng toàn số 0
27. Cho $V$ là không gian vectơ con của $mathbb{R}^n$. Số chiều của $V$ được định nghĩa như thế nào?
A. Số lượng vectơ trong $V$.
B. Số lượng vectơ độc lập tuyến tính tối đa trong $V$.
C. Số lượng vectơ phụ thuộc tuyến tính trong $V$.
D. Số lượng vectơ trong cơ sở của $mathbb{R}^n$.
28. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Phát biểu nào sau đây về hạng của $A$ là đúng?
A. rank(A) > n
B. rank(A) < 0
C. rank(A) ≤ n
D. rank(A) = -n
29. Cho $A$ là ma trận vuông có các giá trị riêng $lambda_1, lambda_2, ..., lambda_n$. Khi đó, tích của các giá trị riêng này bằng gì?
A. Hạng của $A$.
B. Vết của $A$.
C. Định thức của $A$.
D. Tổng các phần tử trên đường chéo chính của $A$.
30. Trong không gian $mathbb{R}^3$, phương trình $ax + by + cz = 0$ biểu diễn hình học gì?
A. Một điểm
B. Một đường thẳng
C. Một mặt phẳng đi qua gốc tọa độ
D. Một mặt cầu
