1. Tìm giá trị của $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(x) dx$.
A. $\frac{\pi}{4}$
B. $\frac{\pi}{2}$
C. $\pi$
D. $2\pi$
2. Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân $y` + y = x$ với điều kiện $y(0) = 0$.
A. $y = x - 1 + e^{-x}$
B. $y = x - 1$
C. $y = x + 1 + e^{-x}$
D. $y = x + 1$
3. Cho hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2$. Tính tích phân đường $\oint_C \nabla f \cdot d\vec{r}$, với $C$ là đường tròn $x^2 + y^2 = 1$.
A. $0$
B. $2\pi$
C. $\pi$
D. $4\pi$
4. Tìm vi phân cấp hai của hàm số $f(x, y) = x^3 + x^2y - y^2$.
A. $d^2f = 6x dx^2 + 4xydxdy - 2dy^2$
B. $d^2f = 6x dx^2 + 2xydxdy + 2dy^2$
C. $d^2f = 6x dx^2 + 4xydxdy + 2dxdy$
D. $d^2f = 6x dx^2 + 4xydxdy + 2dy^2$
5. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân $y`` + y = 0$.
A. $y = C_1\cos(x) + C_2\sin(x)$
B. $y = C_1e^x + C_2e^{-x}$
C. $y = C_1e^x + C_2xe^x$
D. $y = C_1 + C_2x$
6. Tìm cực trị của hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2 - xy - 2x - 2y + 4$.
A. Hàm số đạt cực tiểu tại $(2, 2)$.
B. Hàm số đạt cực đại tại $(2, 2)$.
C. Hàm số không có cực trị.
D. Hàm số đạt cực tiểu tại $(0, 0)$.
7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^3$, $y = 0$, và $x = 1$.
A. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $1$
D. $\frac{3}{4}$
8. Tìm nghiệm của phương trình vi phân $y`` - 3y` + 2y = 0$.
A. $y = C_1e^x + C_2e^{2x}$
B. $y = C_1e^{-x} + C_2e^{-2x}$
C. $y = C_1e^x + C_2xe^x$
D. $y = C_1\cos(x) + C_2\sin(x)$
9. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n^2}$.
A. $(-1, 1)$
B. $[-1, 1]$
C. $\mathbb{R}$
D. $(-\infty, +\infty)$
10. Tìm điều kiện để tích phân suy rộng $\int_1^{\infty} \frac{dx}{x^p}$ hội tụ.
A. $p > 1$
B. $p < 1$
C. $p \ge 1$
D. $p \le 1$
11. Tìm cực trị của hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2$ với điều kiện $x + y = 1$.
A. Hàm số đạt cực tiểu tại $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$.
B. Hàm số đạt cực đại tại $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$.
C. Hàm số không có cực trị.
D. Hàm số đạt cực tiểu tại $(0, 1)$.
12. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi $\sum_{n=0}^{\infty} n! x^n$.
A. $0$
B. $1$
C. $\infty$
D. $e$
13. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân $y` + 2y = e^{-x}$.
A. $y = e^{-x} + Ce^{-2x}$
B. $y = e^{-x} + Ce^{2x}$
C. $y = e^{-2x} + Ce^{-2x}$
D. $y = e^{-x} + C$
14. Tính $\int_C xydx + (x^2)dy$, với $C$ là đường thẳng từ $(0, 0)$ đến $(1, 1)$.
A. $\frac{5}{6}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{2}{3}$
D. $\frac{1}{3}$
15. Tìm đạo hàm của hàm số $F(x) = \int_0^x e^{-t^2} dt$.
A. $e^{-x^2}$
B. $2xe^{-x^2}$
C. $e^{-t^2}$
D. $0$
16. Tìm điểm dừng của hàm số $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$.
A. $(0, 0)$ và $(1, 1)$
B. $(0, 0)$ và $(-1, -1)$
C. $(1, 0)$ và $(0, 1)$
D. Không có điểm dừng
17. Tìm gradient của hàm số $f(x, y) = x^2y + e^{xy}$.
A. $\nabla f = (2xy + ye^{xy}, x^2 + xe^{xy})$
B. $\nabla f = (2xy + e^{xy}, x^2 + e^{xy})$
C. $\nabla f = (2x + ye^{xy}, x^2 + xe^{xy})$
D. $\nabla f = (2xy, x^2)$
18. Tính tích phân $\int \int_D (x + y) dxdy$, với $D$ là miền giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = x$.
A. $\frac{1}{5}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{1}{12}$
D. $\frac{5}{12}$
19. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $r = 2\cos(\theta)$.
A. $\pi$
B. $2\pi$
C. $\frac{\pi}{2}$
D. $4\pi$
20. Tìm nghiệm của phương trình $y`` + 4y = \sin(x)$.
A. $y = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x) + \frac{1}{3}\sin(x)$
B. $y = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x) + \sin(x)$
C. $y = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x) + \frac{1}{5}\sin(x)$
D. $y = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x)$
21. Tính divergence của trường vector $\vec{F}(x, y, z) = (x^2, xy, z^2)$.
A. $2x + x + 2z$
B. $2x + y + 2z$
C. $x + y + z$
D. $2x + 2z$
22. Tính diện tích mặt $z = x^2 + y^2$ với $x^2 + y^2 \le 1$.
A. $\frac{\pi}{6}(5\sqrt{5} - 1)$
B. $\frac{\pi}{3}(5\sqrt{5} - 1)$
C. $\frac{\pi}{6}(\sqrt{5} - 1)$
D. $\frac{\pi}{3}(\sqrt{5} - 1)$
23. Tìm vector pháp tuyến của mặt $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ tại điểm $(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$.
A. $\vec{n} = (\frac{2}{\sqrt{3}}, \frac{2}{\sqrt{3}}, \frac{2}{\sqrt{3}})$
B. $\vec{n} = (\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$
C. $\vec{n} = (\sqrt{3}, \sqrt{3}, \sqrt{3})$
D. $\vec{n} = (1, 1, 1)$
24. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x^2$ và $y = 2x$.
A. $\frac{2}{3}$
B. $\frac{4}{3}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{5}{3}$
25. Tính đạo hàm riêng $\frac{\partial z}{\partial x}$ của hàm số $z = f(x, y) = x^3y^2 + \sin(xy)$.
A. $\frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2y^2 + y\cos(xy)$
B. $\frac{\partial z}{\partial x} = x^3 + \cos(xy)$
C. $\frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2y^2 + \cos(xy)$
D. $\frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2 + y\cos(xy)$
26. Tính tích phân lặp $\int_0^1 \int_0^2 (x^2 + y) dx dy$.
A. $\frac{14}{3}$
B. $\frac{10}{3}$
C. $\frac{8}{3}$
D. $\frac{16}{3}$
27. Tính $\int_0^1 \int_0^1 e^{x+y} dxdy$.
A. $(e-1)^2$
B. $e-1$
C. $e^2-1$
D. $e^2$
28. Tính tích phân $\int_0^{\infty} e^{-x} dx$.
A. $1$
B. $0$
C. $\infty$
D. $-1$
29. Tính giới hạn $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^2y}{x^2 + y^2}$.
A. $0$
B. $1$
C. $\infty$
D. Không tồn tại
30. Tính tích phân đường loại 1 $\int_C (x + y) ds$, với $C$ là đoạn thẳng nối $(0, 0)$ và $(1, 1)$.
A. $\sqrt{2}$
B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $2\sqrt{2}$
