1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = 4$.
A. $\frac{32}{3}$
B. $\frac{16}{3}$
C. $\frac{64}{3}$
D. $\frac{8}{3}$
2. Tính $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx$.
A. $\sqrt{\pi}$
B. $\pi$
C. 1
D. 2
3. Cho phương trình vi phân $y`` + y = 0$. Tìm nghiệm tổng quát.
A. $y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)$
B. $y = C_1 e^x + C_2 e^{-x}$
C. $y = C_1 \cos(x) + C_2 x \cos(x)$
D. $y = C_1 \sin(x) + C_2 x \sin(x)$
4. Cho $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$. Tính $A^n$.
A. $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2^n \end{bmatrix}$
B. $\begin{bmatrix} n & 0 \\ 0 & 2n \end{bmatrix}$
C. $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & n^2 \end{bmatrix}$
D. $\begin{bmatrix} n & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$
5. Tìm đạo hàm của hàm số $y = \ln(x^2 + 1)$.
A. $\frac{2x}{x^2 + 1}$
B. $\frac{1}{x^2 + 1}$
C. $\frac{2}{x^2 + 1}$
D. $\frac{x}{x^2 + 1}$
6. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền giới hạn bởi $y = x^2$, $y = 0$ và $x = 1$ quanh trục $Ox$.
A. $\frac{\pi}{5}$
B. $\frac{\pi}{3}$
C. $\pi$
D. $\frac{2\pi}{5}$
7. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$.
A. $\mathbb{R}$
B. $(-1, 1)$
C. $[-1, 1]$
D. $\emptyset$
8. Cho hàm số $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$. Tìm các điểm dừng của hàm số.
A. $(0, 0)$ và $(1, 1)$
B. $(0, 1)$ và $(1, 0)$
C. $(0, 0)$ và $(-1, -1)$
D. $(1, 1)$ và $(-1, -1)$
9. Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} x^2 \sin(\frac{1}{x}) & \text{nếu } x \neq 0 \\ 0 & \text{nếu } x = 0 \end{cases}$. Hàm số này có đạo hàm tại $x = 0$ không?
A. Có, và $f`(0) = 0$
B. Có, và $f`(0) = 1$
C. Không
D. Có, và $f`(0) = -1$
10. Tìm khai triển Maclaurin của hàm số $f(x) = e^x$.
A. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$
B. $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$
C. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$
D. $\sum_{n=1}^{\infty} x^n$
11. Tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng $2x - y + 3z = 5$.
A. $\vec{n} = (2, -1, 3)$
B. $\vec{n} = (2, 1, 3)$
C. $\vec{n} = (-2, 1, -3)$
D. $\vec{n} = (1, -1, 3)$
12. Cho $z_1 = 1 + i$ và $z_2 = 2 - i$. Tính $z_1 \cdot z_2$.
A. $3 + i$
B. $1 + 3i$
C. $2 - i$
D. $3 - i$
13. Cho hàm số $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$. Tìm khoảng đồng biến của hàm số.
A. $\left(-\infty, 1\right)$ và $\left(3, +\infty\right)$
B. $\left(1, 3\right)$
C. $\left(-\infty, -3\right)$ và $\left(-1, +\infty\right)$
D. $\left(-3, -1\right)$
14. Cho ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$. Tìm định thức của ma trận $A$.
15. Giải phương trình $y`` - 4y` + 4y = 0$.
A. $y = (C_1 + C_2x)e^{2x}$
B. $y = C_1e^{2x} + C_2e^{-2x}$
C. $y = C_1e^{2x} + C_2xe^{2x}$
D. $y = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x)$
16. Tính tích phân đường $\int_C (x^2 + y^2) ds$, với $C$ là đường tròn $x^2 + y^2 = 1$.
A. $2\pi$
B. $\pi$
C. $4\pi$
D. 0
17. Cho hàm số $f(x, y) = xy$. Tính đạo hàm riêng $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$.
18. Cho chuỗi số $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$. Chuỗi này hội tụ khi nào?
A. $p > 1$
B. $p < 1$
C. $p \ge 1$
D. $p \le 1$
19. Tìm cực trị của hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5$.
A. Hàm số đạt cực tiểu tại $(1, 2)$
B. Hàm số đạt cực đại tại $(1, 2)$
C. Hàm số đạt cực tiểu tại $(-1, -2)$
D. Hàm số đạt cực đại tại $(-1, -2)$
20. Tìm đạo hàm của hàm số $f(x) = \arctan(x)$.
A. $\frac{1}{1 + x^2}$
B. $\frac{1}{1 - x^2}$
C. $\frac{-1}{1 + x^2}$
D. $\frac{-1}{1 - x^2}$
21. Tìm hạng của ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}$.
22. Cho hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2$. Tìm đạo hàm theo hướng của $f$ tại $(1, 1)$ theo hướng $\vec{v} = (1, 1)$.
A. $2\sqrt{2}$
B. $\sqrt{2}$
C. 2
D. 4
23. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$.
A. $\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$
B. $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$
C. $\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$
D. $\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}$
24. Tìm giới hạn của dãy số $a_n = \frac{n^2 + 1}{2n^2 + n + 3}$ khi $n \rightarrow \infty$.
A. $\frac{1}{2}$
B. 0
C. 1
D. $\infty$
25. Tính tích phân $\int_0^1 x e^x dx$.
A. $e - 1$
B. 1
C. $e + 1$
D. $2e$
26. Tính giới hạn $\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}}$.
A. $e$
B. 1
C. 0
D. $\infty$
27. Tìm nghiệm của phương trình $z^2 + 2z + 5 = 0$.
A. $-1 \pm 2i$
B. $1 \pm 2i$
C. $-1 \pm i$
D. $1 \pm i$
28. Tính giới hạn $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}$.
A. 1
B. 0
C. $\infty$
D. -1
29. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân $y` + 2y = e^{-x}$.
A. $y = e^{-x} + Ce^{-2x}$
B. $y = e^{-2x} + Ce^{-x}$
C. $y = e^{-x} + C$
D. $y = e^{-2x} + C$
30. Giải bất phương trình $|x - 2| < 3$.
A. $-1 < x < 5$
B. $x < -1$ hoặc $x > 5$
C. $x < 5$
D. $x > -1$
