1. Tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng $2x - y + 3z = 5$.
A. $\vec{n} = (2, -1, 3)$
B. $\vec{n} = (2, 1, 3)$
C. $\vec{n} = (-2, 1, -3)$
D. $\vec{n} = (2, -1, -3)$
2. Giải phương trình vi phân $y` + 2y = e^{-x}$.
A. $y = e^{-x} + Ce^{-2x}$
B. $y = e^{-x} + Ce^{2x}$
C. $y = e^{x} + Ce^{-2x}$
D. $y = e^{x} + Ce^{2x}$
3. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình $y`` + y = 0$.
A. $y = C_1\cos(x) + C_2\sin(x)$
B. $y = C_1e^x + C_2e^{-x}$
C. $y = C_1e^x + C_2xe^{x}$
D. $y = C_1\cos(x) + C_2x\cos(x)$
4. Tính $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x$.
A. $e$
B. 1
C. 0
D. $\infty$
5. Giải phương trình vi phân $y`` - 3y` + 2y = 0$.
A. $y = C_1e^x + C_2e^{2x}$
B. $y = C_1e^{-x} + C_2e^{-2x}$
C. $y = C_1e^x + C_2xe^x$
D. $y = C_1e^{2x} + C_2xe^{2x}$
6. Tính tích phân đường $\int_C x^2 dy$, với C là đoạn thẳng từ (0, 0) đến (1, 1).
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{1}{2}$
C. 1
D. $\frac{2}{3}$
7. Tìm hạng của ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}$.
8. Cho hàm $f(x) = \begin{cases} x^2\sin(\frac{1}{x}) & \text{nếu } x \neq 0 \\ 0 & \text{nếu } x = 0 \end{cases}$. Tính $f`(0)$.
A. 0
B. 1
C. -1
D. Không tồn tại
9. Cho hàm số $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$. Tìm các điểm dừng của hàm số.
A. $(0, 0)$ và $(1, 1)$
B. $(0, 1)$ và $(1, 0)$
C. $(0, 0)$
D. $(1, 1)$
10. Tìm eigenvalue lớn nhất của ma trận $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$.
11. Tìm cực trị của hàm $f(x) = x^3 - 6x^2 + 5$.
A. Cực đại tại $x=0$, cực tiểu tại $x=4$.
B. Cực tiểu tại $x=0$, cực đại tại $x=4$.
C. Cực đại tại $x=2$, cực tiểu tại $x=4$.
D. Cực tiểu tại $x=2$, cực đại tại $x=4$.
12. Tính tích phân bất định $\int x e^x dx$.
A. $xe^x - e^x + C$
B. $xe^x + e^x + C$
C. $e^x - xe^x + C$
D. $-xe^x - e^x + C$
13. Tìm giới hạn $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}$.
A. 1
B. 0
C. $\infty$
D. -1
14. Tìm nghiệm của phương trình $y` = y$.
A. $y = Ce^x$
B. $y = Cx$
C. $y = C\cos(x)$
D. $y = C\sin(x)$
15. Tìm giới hạn $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 1}{2n^2 - 1}$.
A. $\frac{1}{2}$
B. 1
C. 0
D. $\infty$
16. Cho chuỗi $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$. Chuỗi này hội tụ khi nào?
A. $p > 1$
B. $p < 1$
C. $p \ge 1$
D. $p \le 1$
17. Cho hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5$. Tìm điểm cực tiểu của hàm số.
A. $(1, 2)$
B. $(0, 0)$
C. $(2, 1)$
D. $(1, 1)$
18. Cho hàm số $f(x, y) = e^{x^2 + y^2}$. Tính $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$.
A. $(4x^2 + 2)e^{x^2 + y^2}$
B. $(4x^2 - 2)e^{x^2 + y^2}$
C. $(2x^2 + 2)e^{x^2 + y^2}$
D. $(2x^2 - 2)e^{x^2 + y^2}$
19. Tìm đạo hàm của hàm số $f(x) = x^2 \sin(x)$.
A. $2x\sin(x) + x^2\cos(x)$
B. $2x\cos(x) + x^2\sin(x)$
C. $x^2\cos(x) - 2x\sin(x)$
D. $2x\sin(x) - x^2\cos(x)$
20. Cho $z = f(x, y)$, $x = r\cos(\theta)$, $y = r\sin(\theta)$. Tính $\frac{\partial z}{\partial r}$.
A. $\frac{\partial z}{\partial x}\cos(\theta) + \frac{\partial z}{\partial y}\sin(\theta)$
B. $\frac{\partial z}{\partial x}\sin(\theta) + \frac{\partial z}{\partial y}\cos(\theta)$
C. $\frac{\partial z}{\partial x}r\cos(\theta) + \frac{\partial z}{\partial y}r\sin(\theta)$
D. $\frac{\partial z}{\partial x}r\sin(\theta) + \frac{\partial z}{\partial y}r\cos(\theta)$
21. Cho ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$. Tìm ma trận nghịch đảo của A.
A. $\begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$
B. $\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$
C. $\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$
D. $\begin{bmatrix} -4 & 2 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}$
22. Tìm đạo hàm của hàm số $y = \ln(\sin(x))$.
A. $\cot(x)$
B. $\tan(x)$
C. $\frac{1}{\sin(x)}$
D. $\frac{1}{\cos(x)}$
23. Tính tích phân $\int_0^{\infty} e^{-x} dx$.
A. 1
B. 0
C. $\infty$
D. -1
24. Tính định thức của ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$.
25. Cho hàm số $f(x, y) = xy$. Tìm đạo hàm theo hướng của $f$ tại điểm (1, 1) theo hướng của vector $\vec{v} = (1, 1)$.
A. $\sqrt{2}$
B. $\frac{1}{\sqrt{2}}$
C. 2
D. $\frac{1}{2}$
26. Tính giới hạn $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$.
A. 1
B. 0
C. $\infty$
D. e
27. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$.
A. $\infty$
B. 0
C. 1
D. 2
28. Tính tích phân $\int_0^1 \int_0^x (x^2 + y^2) dy dx$.
A. $\frac{7}{30}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{2}{5}$
D. $\frac{1}{2}$
29. Tìm cực trị của hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2$ với điều kiện $x + y = 1$.
A. Hàm số đạt cực tiểu tại $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ với $f(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.
B. Hàm số đạt cực đại tại $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ với $f(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.
C. Hàm số đạt cực tiểu tại $(1, 0)$ với $f(1, 0) = 1$.
D. Hàm số đạt cực đại tại $(0, 1)$ với $f(0, 1) = 1$.
30. Cho chuỗi $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$. Nếu $\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0$, thì chuỗi này như thế nào?
A. Phân kỳ
B. Hội tụ
C. Hội tụ tuyệt đối
D. Hội tụ có điều kiện
