1. Tìm giới hạn $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2y}{x^4+y^2}$ nếu nó tồn tại.
A. 0
B. 1
C. Không tồn tại
D. $\infty$
2. Tìm nghiệm của phương trình vi phân $y` + 2y = e^{-x}$.
A. $y = e^{-x} + Ce^{-2x}$
B. $y = e^{-x} + Ce^{2x}$
C. $y = Ce^{-2x}$
D. $y = e^{-x} + C$
3. Tính diện tích miền $D$ giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = 4$.
A. $\frac{32}{3}$
B. $\frac{16}{3}$
C. $\frac{64}{3}$
D. $\frac{8}{3}$
4. Tính $\int_C (x^2 + y^2) ds$, với C là đường tròn $x^2 + y^2 = 1$.
A. $2\pi$
B. $\pi$
C. $4\pi$
D. $0$
5. Tính $\iint_D xy dA$, với D là miền giới hạn bởi $y=x$, $y=2x$ và $x=2$.
6. Nếu $f(x,y)$ là một hàm khả vi, phát biểu nào sau đây là đúng về vector gradient $\nabla f$?
A. $\nabla f$ chỉ hướng tăng nhanh nhất của f
B. $\nabla f$ chỉ hướng giảm nhanh nhất của f
C. $\nabla f$ vuông góc với các đường đồng mức của f
D. $\nabla f$ tiếp tuyến với các đường đồng mức của f
7. Tìm diện tích bề mặt của hình trụ $x^2+y^2=1$ với $0 \le z \le 1$.
A. $2\pi$
B. $\pi$
C. $4\pi$
D. 1
8. Tìm vi phân toàn phần của hàm $f(x,y) = x^3 + xy^2$.
A. $df = (3x^2 + y^2)dx + 2xydy$
B. $df = 3x^2dx + 2xydy$
C. $df = (3x^2 + y^2)dx - 2xydy$
D. $df = 3x^2dx - 2xydy$
9. Tìm nghiệm của phương trình vi phân $xy` + y = x^2$.
A. $y = \frac{x^2}{3} + \frac{C}{x}$
B. $y = x^2 + Cx$
C. $y = \frac{x^3}{3} + C$
D. $y = \frac{x^3}{3} + Cx$
10. Giải phương trình vi phân $y`` - 3y` + 2y = 0$.
A. $y = c_1e^x + c_2e^{2x}$
B. $y = c_1e^{-x} + c_2e^{-2x}$
C. $y = c_1e^x + c_2xe^x$
D. $y = c_1e^{2x} + c_2xe^{2x}$
11. Chuỗi Taylor của hàm $f(x) = \sin(x)$ tại $x=0$ là?
A. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
B. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
C. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$
D. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}$
12. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$.
A. $\infty$
B. 0
C. 1
D. 2
13. Cho hàm $f(x,y) = e^{xy}$. Tính đạo hàm theo hướng của $\vec{v} = <1,1>$ tại điểm (1,0).
A. 1
B. 0
C. $\sqrt{2}$
D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
14. Tính giới hạn $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}$.
A. 1
B. 0
C. $\infty$
D. Không tồn tại
15. Tìm thể tích vật thể giới hạn bởi $z = x^2 + y^2$ và $z = 4$.
A. $8\pi$
B. $4\pi$
C. $16\pi$
D. $2\pi$
16. Tính thể tích của khối cầu có bán kính R.
A. $\frac{4}{3} \pi R^3$
B. $\frac{2}{3} \pi R^3$
C. $\pi R^3$
D. $4 \pi R^2$
17. Tìm cực trị của hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5$.
A. f(1, 2) = 0 là cực tiểu
B. f(1, 2) = 0 là cực đại
C. f(0, 0) = 5 là cực tiểu
D. f(0, 0) = 5 là cực đại
18. Tính đạo hàm riêng $\frac{\partial z}{\partial x}$ của hàm số $z = x^2y + \sin(xy)$.
A. $2xy + y\cos(xy)$
B. $2xy + x\cos(xy)$
C. $x^2 + y\cos(xy)$
D. $2x + \cos(xy)$
19. Tính tích phân đường loại 1 $\int_C f(x, y) ds$, với $f(x, y) = x + y$ và $C$ là đoạn thẳng nối $(0, 0)$ đến $(1, 1)$.
A. $\sqrt{2}$
B. $2\sqrt{2}$
C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
D. $0$
20. Tính diện tích hình tròn có bán kính $R$ sử dụng tích phân kép.
A. $\pi R^2$
B. $2\pi R$
C. $\frac{4}{3}\pi R^3$
D. $\frac{1}{3}\pi R^3$
21. Tính $\int_0^1 \int_0^x (x^2 + y^2) dy dx$.
A. $\frac{7}{15}$
B. $\frac{2}{15}$
C. $\frac{1}{15}$
D. $\frac{8}{15}$
22. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình $y` = \frac{x}{y}$
A. $y^2 = x^2 + C$
B. $y = x + C$
C. $y^2 = 2x + C$
D. $y = \frac{x^2}{2} + C$
23. Tìm vector pháp tuyến của mặt $z = x^2 + y^2$ tại điểm (1, 1, 2).
A. $\vec{n} = <-2, -2, 1>$
B. $\vec{n} = <2, 2, 1>$
C. $\vec{n} = <-1, -1, 1>$
D. $\vec{n} = <1, 1, -1>$
24. Tìm nghiệm của phương trình vi phân $y``+4y=0$.
A. $y=c_1\cos(2x)+c_2\sin(2x)$
B. $y=c_1e^{2x}+c_2e^{-2x}$
C. $y=c_1\cos(4x)+c_2\sin(4x)$
D. $y=c_1e^{4x}+c_2e^{-4x}$
25. Tính tích phân $\int x \cos(x) dx$.
A. $x \sin(x) + \cos(x) + C$
B. $x \cos(x) + \sin(x) + C$
C. $x \sin(x) - \cos(x) + C$
D. $x \cos(x) - \sin(x) + C$
26. Tìm giá trị của tích phân $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} dx$.
A. $\pi$
B. $2\pi$
C. $\frac{\pi}{2}$
D. 0
27. Tìm cực trị của hàm $f(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy$.
A. Cực tiểu tại (1,1), điểm yên ngựa tại (0,0)
B. Cực đại tại (1,1), điểm yên ngựa tại (0,0)
C. Cực tiểu tại (0,0), điểm yên ngựa tại (1,1)
D. Cực đại tại (0,0), điểm yên ngựa tại (1,1)
28. Tìm điều kiện để chuỗi số $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ hội tụ.
A. $p > 1$
B. $p < 1$
C. $p \ge 1$
D. $p \le 1$
29. Tính tích phân bội ba $\iiint_E x dV$ với $E$ là vật thể giới hạn bởi $x = 0$, $y = 0$, $z = 0$, và $x + y + z = 1$.
A. $\frac{1}{24}$
B. $\frac{1}{6}$
C. $\frac{1}{12}$
D. $\frac{1}{2}$
30. Tính tích phân $\int_0^{\infty} e^{-x^2} dx$.
A. $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$
B. $\sqrt{\pi}$
C. $\frac{\pi}{2}$
D. $\pi$
