1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = 2x$.
A. $\frac{2}{3}$
B. $\frac{4}{3}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $1$
2. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$.
A. $\begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$
B. $\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$
C. $\begin{bmatrix} -2 & 1 \\ -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$
D. $\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$
3. Cho hàm số $f(x) = x^3 - 3x + 2$. Tìm khoảng đồng biến của hàm số.
A. $(-\infty, -1)$ và $(1, +\infty)$
B. $(-1, 1)$
C. $\mathbb{R}$
D. Không có khoảng đồng biến
4. Tìm nghiệm của phương trình $y` = y$ với điều kiện $y(0) = 1$.
A. $y = e^x$
B. $y = x$
C. $y = 1$
D. $y = e^{-x}$
5. Tìm thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền giới hạn bởi $y = x^2$, $y = 0$, $x = 1$ quanh trục $Ox$.
A. $\frac{\pi}{5}$
B. $\pi$
C. $\frac{\pi}{3}$
D. $\frac{2\pi}{5}$
6. Tìm eigenvalue của ma trận $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$.
A. $\lambda_1 = 1, \lambda_2 = 3$
B. $\lambda_1 = -1, \lambda_2 = -3$
C. $\lambda_1 = 1, \lambda_2 = -3$
D. $\lambda_1 = -1, \lambda_2 = 3$
7. Cho hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2$ với điều kiện $x + y = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $f(x, y)$.
A. $\frac{1}{2}$
B. $1$
C. $0$
D. $\frac{1}{4}$
8. Tìm vector chỉ phương của đường thẳng $d: \begin{cases} x + y - z = 0 \\ 2x - y + z = 1 \end{cases}$.
A. $\vec{u} = (0, 1, 1)$
B. $\vec{u} = (0, -1, -1)$
C. $\vec{u} = (1, -2, -3)$
D. $\vec{u} = (1, -2, -3)$
9. Tìm cực trị của hàm số $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 4$.
A. Cực đại tại $x = 1$, cực tiểu tại $x = 3$
B. Cực tiểu tại $x = 1$, cực đại tại $x = 3$
C. Cực đại tại $x = -1$, cực tiểu tại $x = -3$
D. Không có cực trị
10. Cho hàm số $f(x,y) = e^{x^2 + y^2}$. Tính $\frac{\partial f}{\partial x}$.
A. $2xe^{x^2 + y^2}$
B. $2ye^{x^2 + y^2}$
C. $e^{x^2 + y^2}$
D. $2(x+y)e^{x^2 + y^2}$
11. Giải hệ phương trình tuyến tính $\begin{cases} x + y = 3 \\ x - y = 1 \end{cases}$.
A. $x = 2, y = 1$
B. $x = 1, y = 2$
C. $x = 0, y = 3$
D. $x = 3, y = 0$
12. Tính $\int_0^{\infty} e^{-x} dx$.
A. $0$
B. $1$
C. $\infty$
D. Không tồn tại
13. Tìm đạo hàm của hàm số $f(x) = x^x$ với $x > 0$.
A. $x^x(\ln(x) + 1)$
B. $x^x \ln(x)$
C. $x x^{x-1}$
D. $x^x$
14. Cho hàm số $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$. Tìm các điểm dừng của hàm số.
A. $(0, 0)$ và $(1, 1)$
B. $(0, 0)$ và $(-1, -1)$
C. $(1, 0)$ và $(0, 1)$
D. $(0, 0)$
15. Tìm hạng của ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$.
A. $3$
B. $2$
C. $1$
D. $0$
16. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình $y`` + 4y = 0$.
A. $y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)$
B. $y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}$
C. $y = C_1 \cos(4x) + C_2 \sin(4x)$
D. $y = C_1 e^{4x} + C_2 e^{-4x}$
17. Cho $z = 2 - 3i$. Tính $|z|$.
A. $\sqrt{5}$
B. $\sqrt{13}$
C. $5$
D. $13$
18. Tìm đạo hàm của hàm số $y = \ln(\sin(x))$.
A. $\cot(x)$
B. $\tan(x)$
C. $\frac{1}{\sin(x)}$
D. $\frac{1}{\cos(x)}$
19. Tính $\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n$.
A. $0$
B. $1$
C. $e$
D. $\infty$
20. Tìm điều kiện để chuỗi số $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ hội tụ.
A. $p > 1$
B. $p < 1$
C. $p \ge 1$
D. $p \le 1$
21. Tính $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}$.
A. $0$
B. $1$
C. $\infty$
D. Không tồn tại
22. Tính $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$.
A. $0$
B. $1$
C. $\infty$
D. Không tồn tại
23. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$.
A. $0$
B. $1$
C. $\infty$
D. $e$
24. Tính $\int \frac{1}{x \ln(x)} dx$.
A. $\ln(|\ln(x)|) + C$
B. $\ln(x) + C$
C. $\frac{1}{2} (\ln(x))^2 + C$
D. $-\frac{1}{\ln(x)} + C$
25. Tính tích phân $\int_0^1 x^2 e^x dx$.
A. $e - 2$
B. $1$
C. $2e - 1$
D. $e$
26. Tìm giới hạn của dãy số $a_n = \frac{3n^2 + 2n - 1}{n^2 + 1}$ khi $n \rightarrow \infty$.
A. $\infty$
B. $3$
C. $0$
D. $1$
27. Tìm giá trị của $k$ để hàm số $f(x) = \begin{cases} kx & x \le 2 \\ x^2 & x > 2 \end{cases}$ liên tục tại $x = 2$.
A. $1$
B. $2$
C. $3$
D. $4$
28. Giải phương trình vi phân $y` + 2y = e^{-x}$.
A. $y = e^{-x} + Ce^{-2x}$
B. $y = e^{-x} + C$
C. $y = e^{-2x} + Ce^{-x}$
D. $y = Ce^{-2x}$
29. Tìm vi phân toàn phần của hàm số $z = x^2y + xy^2$.
A. $dz = (2xy + y^2)dx + (x^2 + 2xy)dy$
B. $dz = (2x + y)dx + (x + 2y)dy$
C. $dz = (x^2 + 2xy)dx + (2xy + y^2)dy$
D. $dz = (2xy)dx + (2xy)dy$
30. Cho $f(x) = \begin{cases} x^2 \sin(\frac{1}{x}) & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}$. Tính $f`(0)$.
A. $0$
B. $1$
C. $\infty$
D. Không tồn tại
