1. Cho hai không gian con $U$ và $W$ của không gian vectơ $V$. Khi đó $U cap W$ là:
A. Không gian con của $V$
B. Không gian vectơ khác $V$
C. Tập rỗng
D. Không gian vectơ $V$
2. Cho biến đổi tuyến tính $T: mathbb{R}^2
ightarrow mathbb{R}^2$ được xác định bởi $T(x, y) = (x + y, x - y)$. Tìm ma trận biểu diễn của $T$ đối với cơ sở chính tắc.
A. $egin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & -1 end{bmatrix}$
B. $egin{bmatrix} 1 & -1 \ 1 & 1 end{bmatrix}$
C. $egin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{bmatrix}$
D. $egin{bmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 end{bmatrix}$
3. Ma trận nào sau đây là ma trận đơn vị?
A. $egin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0 end{bmatrix}$
B. $egin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & 1 end{bmatrix}$
C. $egin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{bmatrix}$
D. $egin{bmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 end{bmatrix}$
4. Cho ma trận $A = egin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 end{bmatrix}$. Tính định thức của ma trận $A$.
A. $-2$
B. $10$
C. $2$
D. $-10$
5. Cho $A$ là ma trận vuông. Nếu $Ax = 0$ có nghiệm duy nhất $x=0$, thì:
A. $A$ không khả nghịch
B. $A$ khả nghịch
C. $det(A) = 0$
D. Không kết luận được gì
6. Tìm cơ sở của không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất $x + y + z = 0$.
A. $left{ (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)
ight}$
B. $left{ (1, -1, 0), (1, 0, -1)
ight}$
C. $left{ (1, 1, 1)
ight}$
D. $left{ (0, 0, 0)
ight}$
7. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Khi nào thì $A$ chéo hóa được?
A. Khi $A$ có $n$ giá trị riêng phân biệt.
B. Khi $A$ có $n$ vectơ riêng độc lập tuyến tính.
C. Khi $A$ là ma trận đối xứng.
D. Tất cả các đáp án trên.
8. Cho $A$ là ma trận $m imes n$. Khi đó, số chiều của không gian nghiệm của $Ax = 0$ cộng với hạng của $A$ bằng:
9. Cho hệ phương trình tuyến tính $Ax = b$. Điều kiện nào sau đây đảm bảo hệ có nghiệm duy nhất?
A. det(A) = 0
B. det(A) ≠ 0
C. A là ma trận vuông
D. b = 0
10. Cho $T: V
ightarrow W$ là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó, $Im(T)$ là:
A. Một không gian con của $V$
B. Một không gian con của $W$
C. Một không gian con của $V cap W$
D. Tập rỗng
11. Cho hai ma trận $A$ và $B$ có cùng kích thước. Điều kiện nào sau đây KHÔNG đảm bảo $A + B = B + A$?
A. Phép cộng ma trận luôn giao hoán.
B. $A$ và $B$ là các ma trận vuông.
C. $A$ và $B$ có cùng kích thước.
D. Không có điều kiện nào, phép cộng ma trận luôn giao hoán.
12. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ có các giá trị riêng là $lambda_1, lambda_2, ..., lambda_n$. Khi đó, tích các giá trị riêng bằng:
A. $trace(A)$
B. $det(A)$
C. 0
D. 1
13. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Điều kiện nào sau đây là tương đương với việc $A$ là ma trận trực giao?
A. $A^T = A$
B. $A^T = A^{-1}$
C. $A^2 = I$
D. $det(A) = 0$
14. Cho $A$ là ma trận vuông. Nếu $A$ là ma trận đối xứng, khẳng định nào sau đây đúng?
A. Các giá trị riêng của $A$ đều là số thực.
B. Các giá trị riêng của $A$ đều là số ảo.
C. $A$ không chéo hóa được.
D. $det(A) = 0$.
15. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ với các cột độc lập tuyến tính. Khi đó, hạng của $A$ là:
A. 0
B. 1
C. $n$
D. Không xác định
16. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ có $A^2 = A$. Giá trị riêng của $A$ chỉ có thể là:
A. 0
B. 1
C. 0 hoặc 1
D. -1
17. Cho $V$ là không gian vectơ. Điều kiện nào sau đây KHÔNG phải là điều kiện để $W$ là không gian con của $V$?
A. $W$ đóng với phép cộng.
B. $W$ đóng với phép nhân vô hướng.
C. $0 in W$.
D. $W$ hữu hạn.
18. Giá trị riêng của ma trận $A = egin{bmatrix} 2 & 1 \ 1 & 2 end{bmatrix}$ là:
A. 1 và 2
B. 1 và 3
C. 2 và 3
D. 0 và 1
19. Tìm hạng của ma trận $A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 2 & 4 & 6 \ 3 & 6 & 9 end{bmatrix}$.
20. Cho hai vectơ $vec{u} = (1, 2)$ và $vec{v} = (3, 4)$. Tính tích vô hướng của hai vectơ này.
A. $11$
B. $7$
C. $5$
D. $10$
21. Trong không gian vectơ $mathbb{R}^3$, bộ vectơ nào sau đây là cơ sở?
A. $left{ (1, 0, 0), (0, 1, 0)
ight}$
B. $left{ (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 1)
ight}$
C. $left{ (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)
ight}$
D. $left{ (1, 1, 1), (2, 2, 2), (3, 3, 3)
ight}$
22. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ và khả nghịch. Khi đó, $(A^{-1})^{-1}$ bằng:
A. $A$
B. $A^T$
C. $I$
D. 0
23. Cho $V$ là không gian vector với tích trong. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Tích trong luôn dương
B. Tích trong có thể âm
C. Tích trong luôn bằng 0
D. Tích trong là một vector
24. Cho ma trận $A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 2 & 0 \ 0 & 0 & 3 end{bmatrix}$. Ma trận $A$ có các vectơ riêng độc lập tuyến tính hay không?
A. Không thể xác định
B. Không
C. Có
D. Chỉ khi $A$ là ma trận đơn vị
25. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ và $c$ là một hằng số. Định thức của $cA$ bằng:
A. $c cdot det(A)$
B. $c^n cdot det(A)$
C. $det(A) + c$
D. $det(A)$
26. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Nếu $A$ khả nghịch thì $det(A) = 0$.
B. Nếu $det(A) = 0$ thì $A$ khả nghịch.
C. Nếu $A$ khả nghịch thì $det(A)
eq 0$.
D. Nếu $A$ không khả nghịch thì $det(A)
eq 0$.
27. Cho ánh xạ tuyến tính $f:V
ightarrow W$. Khi đó, $Ker(f)$ là:
A. Không gian con của $W$
B. Không gian con của $V$
C. Không gian vectơ
D. Tập rỗng
28. Phép biến đổi tuyến tính nào sau đây bảo toàn khoảng cách?
A. Phép chiếu
B. Phép quay
C. Phép co
D. Phép giãn
29. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ có các giá trị riêng là $lambda_1, lambda_2, ..., lambda_n$. Khi đó, tổng các giá trị riêng bằng:
A. $det(A)$
B. $trace(A)$
C. 0
D. 1
30. Cho $A$ và $B$ là hai ma trận vuông cùng cấp. Phát biểu nào sau đây KHÔNG đúng?
A. $(A + B)^T = A^T + B^T$
B. $(AB)^T = A^TB^T$
C. $(kA)^T = kA^T$ (với $k$ là một số vô hướng)
D. $(A^T)^T = A$
