1. Tìm cực trị của hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5$.
A. Cực tiểu tại (1, 2)
B. Cực đại tại (1, 2)
C. Không có cực trị
D. Điểm yên ngựa tại (1, 2)
2. Chuỗi nào sau đây là chuỗi Taylor của hàm số $e^x$ tại $x = 0$?
A. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$
B. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{n!}$
C. $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$
D. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$
3. Tính tích phân $\int_{0}^{\infty} e^{-x} dx$.
A. 1
B. 0
C. $\infty$
D. -1
4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$.
A. $\infty$
B. 0
C. 1
D. 2
5. Tìm giá trị của $I = \int_0^1 \int_0^x (x^2 + y^2) dy dx$.
A. $\frac{7}{15}$
B. $\frac{2}{5}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{4}{15}$
6. Tìm công thức tính diện tích hình phẳng trong tọa độ cực giới hạn bởi $r = f(\theta)$ từ $\theta = \alpha$ đến $\theta = \beta$.
A. $A = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} [f(\theta)]^2 d\theta$
B. $A = \int_{\alpha}^{\beta} f(\theta) d\theta$
C. $A = \int_{\alpha}^{\beta} [f(\theta)]^2 d\theta$
D. $A = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} f(\theta) d\theta$
7. Chuỗi $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ hội tụ khi nào?
A. $p > 1$
B. $p < 1$
C. $p = 1$
D. $p \le 1$
8. Tính tích phân $\int x \cos(x) dx$.
A. $x \sin(x) + \cos(x) + C$
B. $x \cos(x) - \sin(x) + C$
C. $x \sin(x) - \cos(x) + C$
D. $x \cos(x) + \sin(x) + C$
9. Tìm nghiệm của phương trình vi phân $y` + 2y = e^{-x}$.
A. $y = e^{-x} + Ce^{-2x}$
B. $y = e^{-x} + Ce^{2x}$
C. $y = Ce^{-2x}$
D. $y = e^{-x} + C$
10. Xét tích phân suy rộng $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^\alpha} dx$. Tích phân này hội tụ khi nào?
A. $\alpha > 1$
B. $\alpha < 1$
C. $\alpha = 1$
D. $\alpha \leq 1$
11. Tìm gradient của hàm số $f(x, y) = x^3 + xy^2$.
A. $\nabla f = (3x^2 + y^2, 2xy)$
B. $\nabla f = (x^2 + y^2, xy)$
C. $\nabla f = (3x^2, 2y)$
D. $\nabla f = (3x^2 + y^2, x^2)$
12. Tính tích phân $\int \frac{1}{x^2 - 1} dx$.
A. $\frac{1}{2} \ln \left| \frac{x - 1}{x + 1} \right| + C$
B. $\frac{1}{2} \ln \left| \frac{x + 1}{x - 1} \right| + C$
C. $\ln \left| \frac{x - 1}{x + 1} \right| + C$
D. $\ln \left| \frac{x + 1}{x - 1} \right| + C$
13. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình $y`` - 4y` + 4y = 0$.
A. $y = (C_1 + C_2x)e^{2x}$
B. $y = C_1e^{2x} + C_2e^{-2x}$
C. $y = C_1e^{2x} + C_2xe^{2x}$
D. $y = C_1e^{2x} + C_2e^{4x}$
14. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^n}{n}$.
A. [1, 3)
B. (1, 3)
C. [1, 3]
D. (1, 3]
15. Tìm nghiệm của phương trình vi phân $y` = \frac{x}{y}$.
A. $y^2 = x^2 + C$
B. $y = x + C$
C. $y^2 = 2x + C$
D. $y = x^2 + C$
16. Tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng $2x - y + 3z = 5$.
A. $\vec{n} = (2, -1, 3)$
B. $\vec{n} = (2, 1, 3)$
C. $\vec{n} = (-2, 1, -3)$
D. $\vec{n} = (2, -1, 5)$
17. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1?
A. $y` + p(x)y = q(x)$
B. $y` + p(y)y = q(x)$
C. $y`` + p(x)y` + q(x)y = r(x)$
D. $y` + p(x)y^2 = q(x)$
18. Điều kiện nào sau đây là điều kiện cần để chuỗi $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ hội tụ?
A. $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$
B. $\lim_{n \to \infty} a_n = 1$
C. $\lim_{n \to \infty} a_n = \infty$
D. $\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0$
19. Tìm đạo hàm riêng $\frac{\partial z}{\partial x}$ của hàm số $z = x^2y + \sin(xy)$.
A. $2xy + y\cos(xy)$
B. $x^2 + x\cos(xy)$
C. $2xy + x\cos(xy)$
D. $x^2 + y\cos(xy)$
20. Tính tích phân kép $\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} xy dy dx$.
A. $\frac{1}{8}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{1}{4}$
D. $\frac{1}{6}$
21. Điều kiện nào sau đây là điều kiện đủ để hàm số $f(x, y)$ đạt cực đại tại $(x_0, y_0)$?
A. $f_x(x_0, y_0) = 0$, $f_y(x_0, y_0) = 0$, $f_{xx}(x_0, y_0) < 0$, $D > 0$
B. $f_x(x_0, y_0) = 0$, $f_y(x_0, y_0) = 0$, $f_{xx}(x_0, y_0) > 0$, $D > 0$
C. $f_x(x_0, y_0) = 0$, $f_y(x_0, y_0) = 0$, $f_{xx}(x_0, y_0) < 0$, $D < 0$
D. $f_x(x_0, y_0) = 0$, $f_y(x_0, y_0) = 0$, $f_{xx}(x_0, y_0) > 0$, $D < 0$
22. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân $y`` + y = 0$.
A. $y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)$
B. $y = C_1 e^x + C_2 e^{-x}$
C. $y = C_1 \cos(x) + C_2 x\cos(x)$
D. $y = C_1 \sin(x) + C_2 x\sin(x)$
23. Tính $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2y}{x^2 + y^2}$.
A. 0
B. 1
C. $\infty$
D. Không tồn tại
24. Tìm công thức tính diện tích mặt tròn xoay khi quay đường cong $y = f(x)$ từ $x = a$ đến $x = b$ quanh trục Ox.
A. $S = 2\pi \int_a^b f(x) \sqrt{1 + (f`(x))^2} dx$
B. $S = \pi \int_a^b f(x) \sqrt{1 + (f`(x))^2} dx$
C. $S = 2\pi \int_a^b f(x) \sqrt{1 + f`(x)} dx$
D. $S = 2\pi \int_a^b \sqrt{1 + (f`(x))^2} dx$
25. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = 2x$.
A. $\frac{4}{3}$
B. $\frac{2}{3}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{5}{3}$
26. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền giới hạn bởi $y = x^2$, $y = 0$, $x = 1$ quanh trục Ox.
A. $\frac{\pi}{5}$
B. $\frac{\pi}{2}$
C. $\frac{\pi}{3}$
D. $\pi$
27. Chuỗi $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{1}{n}$ là chuỗi gì?
A. Chuỗi điều hòa đan dấu
B. Chuỗi điều hòa
C. Chuỗi hình học
D. Chuỗi lũy thừa
28. Tính tích phân đường $\int_C (x^2 + y^2) ds$, với $C$ là đường tròn $x^2 + y^2 = 1$.
A. $2\pi$
B. $\pi$
C. $4\pi$
D. 0
29. Tìm vi phân toàn phần của hàm số $z = f(x, y)$.
A. $dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy$
B. $dz = \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y}$
C. $dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx - \frac{\partial z}{\partial y} dy$
D. $dz = \frac{\partial z}{\partial x} dy + \frac{\partial z}{\partial y} dx$
30. Tính $\int_0^{\pi/2} \sin^2(x)dx$.
A. $\frac{\pi}{4}$
B. $\frac{\pi}{2}$
C. $\pi$
D. $\frac{3\pi}{4}$
