1. Tính định thức của ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix}$.
A. $24$
B. $12$
C. $0$
D. $36$
2. Tính đạo hàm của hàm số $y = \ln(\sin(x))$.
A. $\cot(x)$
B. $\tan(x)$
C. $\frac{1}{\sin(x)}$
D. $\frac{1}{\cos(x)}$
3. Cho chuỗi số $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$. Chuỗi này hội tụ khi:
A. $p > 1$
B. $p \ge 1$
C. $p < 1$
D. $p \le 1$
4. Tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng $2x - y + 3z = 5$.
A. $\vec{n} = (2, -1, 3)$
B. $\vec{n} = (2, 1, 3)$
C. $\vec{n} = (2, -1, -3)$
D. $\vec{n} = (-2, 1, -3)$
5. Tìm nghiệm của phương trình $y``+2y`+y=0$.
A. $y=c_1e^{-x}+c_2xe^{-x}$
B. $y=c_1e^{x}+c_2xe^{x}$
C. $y=c_1e^{-x}+c_2e^{x}$
D. $y=c_1\cos(x)+c_2\sin(x)$
6. Tính $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x$.
A. $e$
B. $1$
C. $0$
D. $\infty$
7. Giải phương trình $z^2 + 4 = 0$ trên tập số phức.
A. $z = \pm 2i$
B. $z = \pm 2$
C. $z = 2 \pm i$
D. $z = -2 \pm i$
8. Tìm hạng của ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}$.
A. $1$
B. $2$
C. $3$
D. $0$
9. Tính tích phân đường $\int_C (x^2 + y^2) ds$, với $C$ là đường tròn $x^2 + y^2 = 1$.
A. $2\pi$
B. $\pi$
C. $4\pi$
D. $0$
10. Tính tích phân $\int_0^{\infty} e^{-x} dx$.
A. $1$
B. $0$
C. $\infty$
D. $-1$
11. Cho hàm số $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$. Điểm dừng của hàm số này là:
A. $(0, 0)$ và $(1, 1)$
B. $(0, 0)$ và $(-1, -1)$
C. $(0, 1)$ và $(1, 0)$
D. $(1, 0)$ và $(-1, 0)$
12. Cho ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$. Tìm ma trận nghịch đảo của $A$ (nếu có).
A. $\begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$
B. $\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$
C. $\begin{bmatrix} -2 & 3 \\ 1 & -4 \end{bmatrix}$
D. Ma trận $A$ không có nghịch đảo.
13. Cho hàm số $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$. Tìm khoảng mà hàm số nghịch biến.
A. $(1, 3)$
B. $\mathbb{R}$
C. $\emptyset$
D. $\mathbb{R} \setminus \{1, 3\}$
14. Cho hàm số $f(x, y) = e^{x^2 + y^2}$. Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$.
A. $2x e^{x^2 + y^2}$
B. $2y e^{x^2 + y^2}$
C. $e^{x^2 + y^2}$
D. $x^2 e^{x^2 + y^2}$
15. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Nếu $\det(A) = 0$ thì $A$ khả nghịch.
B. Nếu $\det(A) \neq 0$ thì $A$ khả nghịch.
C. Nếu $A$ khả nghịch thì $\det(A) = 0$.
D. $A$ luôn khả nghịch.
16. Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính $\begin{cases} x + y = 3 \\ 2x - y = 0 \end{cases}$.
A. $(1, 2)$
B. $(2, 1)$
C. $(0, 3)$
D. $(3, 0)$
17. Tính tích phân $\int_0^1 x^2 e^x dx$.
A. $e - 2$
B. $2 - e$
C. $e + 2$
D. $-e - 2$
18. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = x$.
A. $\frac{1}{6}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $1$
19. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$.
A. $\infty$
B. $0$
C. $1$
D. $e$
20. Cho hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5$. Tìm điểm cực tiểu của hàm số.
A. $(1, 2)$
B. $(0, 0)$
C. $(2, 1)$
D. $(-1, -2)$
21. Tìm cực trị của hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2$ với điều kiện $x + y = 1$.
A. Hàm số đạt cực tiểu tại $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$
B. Hàm số đạt cực đại tại $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$
C. Hàm số đạt cực tiểu tại $(1, 0)$
D. Hàm số đạt cực đại tại $(1, 0)$
22. Cho $f(x,y)=x^2y+y^3$. Tính $\frac{\partial f}{\partial x}(1,1)$.
A. $2$
B. $1$
C. $3$
D. $4$
23. Tìm cực trị của hàm số $f(x,y)=x^3+y^3-3x-3y$.
A. Hàm số có cực đại tại (-1,-1) và cực tiểu tại (1,1)
B. Hàm số có cực đại tại (1,1) và cực tiểu tại (-1,-1)
C. Hàm số có cực đại tại (-1,1) và cực tiểu tại (1,-1)
D. Hàm số có cực đại tại (1,-1) và cực tiểu tại (-1,1)
24. Cho chuỗi $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$. Nếu $\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0$ thì:
A. Chuỗi phân kỳ
B. Chuỗi hội tụ
C. Không kết luận được
D. Chuỗi hội tụ tuyệt đối
25. Tìm đạo hàm riêng cấp hai $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$ của hàm số $f(x, y) = x^3 y^2 + x \sin(y)$.
A. $6x^2 y + \cos(y)$
B. $6xy + \cos(y)$
C. $3x^2 y + \cos(y)$
D. $3x^2 y - \sin(y)$
26. Tìm nghiệm của phương trình vi phân $y` + y = e^{-x}$.
A. $y = xe^{-x} + C e^{-x}$
B. $y = e^{-x} + C e^{-x}$
C. $y = x + C e^{-x}$
D. $y = xe^{x} + C e^{-x}$
27. Tìm giới hạn $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}$.
A. $1$
B. $0$
C. $\infty$
D. Không tồn tại
28. Điều kiện cần và đủ để hàm số $f(x)$ đạt cực trị tại $x_0$ là:
A. $f`(x_0) = 0$ và $f``(x_0) \neq 0$
B. $f`(x_0) = 0$
C. $f`(x_0) \neq 0$
D. $f``(x_0) = 0$
29. Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} x^2 \sin(\frac{1}{x}) & \text{if } x \neq 0 \\ 0 & \text{if } x = 0 \end{cases}$. Tính $f`(0)$.
A. $0$
B. $1$
C. $\infty$
D. Không tồn tại
30. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân $y`` - 4y` + 4y = 0$.
A. $y = (C_1 + C_2 x) e^{2x}$
B. $y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}$
C. $y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)$
D. $y = C_1 e^{4x} + C_2 x e^{4x}$
