1. Cho hàm số $z = f(x, y) = e^{x^2 + y^2}$. Tính $\frac{\partial z}{\partial x}$.
A. $e^{x^2 + y^2}$
B. $2x e^{x^2 + y^2}$
C. $2y e^{x^2 + y^2}$
D. 0
2. Giải phương trình $x^2 + 2x + 1 = 0$.
A. $x = 1$
B. $x = -1$
C. $x = 0$
D. $x = 2$
3. Tìm ma trận nghịch đảo của $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
A. $\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
B. $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
C. $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}$
D. $\begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$
4. Giải phương trình $2^x = 8$.
5. Giải phương trình vi phân $y` + y = e^{-x}$.
A. $y = xe^{-x} + C$
B. $y = e^{-x} + C$
C. $y = x + Ce^{-x}$
D. $y = xe^{x} + C$
6. Tìm vector chỉ phương của đường thẳng $x = 1 + 2t, y = 2 - t, z = 3t$.
A. $\vec{v} = (1, 2, 3)$
B. $\vec{v} = (2, -1, 3)$
C. $\vec{v} = (1, -1, 0)$
D. $\vec{v} = (2, 1, 3)$
7. Tính tích phân đường loại 1 $\int_C f(x,y) ds$ với $f(x,y) = x + y$ và $C$ là đoạn thẳng nối $(0,0)$ và $(1,1)$.
A. $\sqrt{2}$
B. $2\sqrt{2}$
C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
D. $\frac{1}{2}$
8. Cho $f(x, y) = x^2 y + xy^2$. Tính $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$.
A. $2x + 2y$
B. $x^2 + y^2$
C. $4xy$
D. $2y + 2x$
9. Tính tích phân $\int x e^x dx$.
A. $x e^x + C$
B. $x e^x - e^x + C$
C. $e^x - x e^x + C$
D. $-x e^x + e^x + C$
10. Tìm hạng của ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
11. Giải bất phương trình $x^2 - 5x + 6 < 0$.
A. $x < 2$ hoặc $x > 3$
B. $2 < x < 3$
C. $x < -3$ hoặc $x > -2$
D. $-3 < x < -2$
12. Tìm hạng của ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$.
13. Cho hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2$. Tính vi phân toàn phần $df$.
A. $df = 2x dx - 2y dy$
B. $df = x dx + y dy$
C. $df = 2x dx + 2y dy$
D. $df = x dx - y dy$
14. Cho hàm số $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$. Tìm các điểm dừng của hàm số.
A. $(0, 0)$ và $(1, 1)$
B. $(0, 1)$ và $(1, 0)$
C. $(0, 0)$ và $(-1, -1)$
D. $(1, 1)$ và $(-1, -1)$
15. Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính: $x + y = 3, x - y = 1$.
A. $(1, 2)$
B. $(2, 1)$
C. $(0, 3)$
D. $(3, 0)$
16. Tìm đạo hàm của hàm số $y = \ln(\sin x)$.
A. $\frac{\cos x}{\sin x}$
B. $\frac{\sin x}{\cos x}$
C. $\cos x$
D. $\sin x$
17. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân $y`` + y = 0$.
A. $y = C_1 \cos x + C_2 \sin x$
B. $y = C_1 e^x + C_2 e^{-x}$
C. $y = C_1 x + C_2$
D. $y = C_1 \cos x - C_2 \sin x$
18. Tính định thức của ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$.
19. Tính tích phân suy rộng $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} dx$.
A. $\infty$
B. 1
C. 0
D. 2
20. Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = x$.
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{6}$
D. 1
21. Tính $\int \frac{1}{x} dx$.
A. $\ln|x| + C$
B. $\frac{1}{x^2} + C$
C. $-\frac{1}{x^2} + C$
D. $x + C$
22. Tính tích phân $\int_0^1 x^2 dx$.
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{4}$
C. $\frac{1}{3}$
D. 1
23. Tính tổng của chuỗi $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$.
A. $\frac{\pi^2}{3}$
B. $\frac{\pi^2}{4}$
C. $\frac{\pi^2}{6}$
D. $\frac{\pi^2}{12}$
24. Tìm miền xác định của hàm số $y = \sqrt{4 - x^2}$.
A. $x \le -2$ hoặc $x \ge 2$
B. $-2 \le x \le 2$
C. $x < -2$ hoặc $x > 2$
D. $-2 < x < 2$
25. Tính giới hạn $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$.
A. 2
B. 0
C. $\infty$
D. 1
26. Tìm giới hạn $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{2x^2 + x}$.
A. 0
B. 1
C. $\frac{1}{2}$
D. $\infty$
27. Cho hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2$. Tìm gradient của hàm số tại điểm $(1, 2)$.
A. $\vec{\nabla} f(1, 2) = (2, 4)$
B. $\vec{\nabla} f(1, 2) = (1, 2)$
C. $\vec{\nabla} f(1, 2) = (4, 2)$
D. $\vec{\nabla} f(1, 2) = (2, 1)$
28. Tìm eigenvalue của ma trận $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$.
A. $\lambda = 1, 2$
B. $\lambda = 1, 3$
C. $\lambda = 2, 3$
D. $\lambda = -1, -3$
29. Tìm khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$.
A. $(-1, 1)$
B. $[-1, 1]$
C. $\mathbb{R}$
D. $\emptyset$
30. Tìm cực trị của hàm số $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 4$.
A. Cực đại tại $x=1$, cực tiểu tại $x=3$
B. Cực tiểu tại $x=1$, cực đại tại $x=3$
C. Cực đại tại $x=-1$, cực tiểu tại $x=-3$
D. Cực tiểu tại $x=-1$, cực đại tại $x=-3$
