1. Cho hàm số $f(x, y) = \begin{cases} \frac{xy}{x^2 + y^2} & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$. Hàm số này có liên tục tại $(0, 0)$ không?
A. Không liên tục
B. Liên tục
C. Không xác định
D. Vừa liên tục, vừa không liên tục
2. Tìm ảnh của đường tròn $|z| = 1$ qua phép biến hình $w = z^2$.
A. Đường tròn $|w| = 1$
B. Đường tròn $|w| = 2$
C. Đường thẳng $Re(w) = 1$
D. Đường thẳng $Im(w) = 1$
3. Cho $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$. Tìm khoảng mà $f(x)$ giảm.
A. $(1, 3)$
B. $\mathbb{R}$
C. $\emptyset$
D. $\left(-\infty, 1\right) \cup \left(3, \infty\right)$
4. Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} x^2 \sin(\frac{1}{x}) & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}$. Tính $f`(0)$.
A. 0
B. 1
C. Không tồn tại
D. $\infty$
5. Tính $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1 + x^2} dx$.
A. $\pi$
B. $\frac{\pi}{2}$
C. $2\pi$
D. $\frac{\pi}{4}$
6. Tìm cực trị của hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2$ với điều kiện $x + y = 1$.
A. Giá trị nhỏ nhất là $\frac{1}{2}$ tại $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$
B. Giá trị lớn nhất là $\frac{1}{2}$ tại $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$
C. Giá trị nhỏ nhất là $1$ tại $(1, 0)$
D. Giá trị lớn nhất là $1$ tại $(1, 0)$
7. Tính $\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx$.
A. $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$
B. $\sqrt{\pi}$
C. $\frac{\pi}{2}$
D. $\pi$
8. Cho hàm số $f(x, y) = e^{x^2 + y^2}$. Tính $\frac{\partial f}{\partial x}$.
A. $2xe^{x^2 + y^2}$
B. $2ye^{x^2 + y^2}$
C. $e^{x^2 + y^2}$
D. $\frac{e^{x^2 + y^2}}{2x}$
9. Tính $\nabla \cdot (x^2 \vec{i} + y^2 \vec{j} + z^2 \vec{k})$.
A. $2x + 2y + 2z$
B. $x + y + z$
C. 0
D. $x^2 + y^2 + z^2$
10. Tìm eigenvalue của ma trận $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$.
A. 1 và 3
B. 2 và -2
C. 0 và 4
D. -1 và -3
11. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$.
A. $\mathbb{R}$
B. $(-1, 1)$
C. $[-1, 1]$
D. $\emptyset$
12. Giải phương trình $z^2 + 2z + 5 = 0$ với $z \in \mathbb{C}$.
A. $-1 \pm 2i$
B. $1 \pm 2i$
C. $-1 \pm i$
D. $1 \pm i$
13. Tìm vector riêng ứng với eigenvalue $\lambda = 1$ của ma trận $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$.
A. $\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$
B. $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$
C. $\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$
D. $\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$
14. Cho hàm số $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$. Tìm các điểm dừng của hàm số.
A. $(0, 0)$ và $(1, 1)$
B. $(0, 1)$ và $(1, 0)$
C. $(0, 0)$ và $(-1, -1)$
D. $(1, 1)$ và $(-1, -1)$
15. Tìm khai triển Taylor của hàm số $f(x) = \sin(x)$ tại $x = 0$.
A. $x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$
B. $1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$
C. $x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \dots$
D. $1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \dots$
16. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân $y` + y = e^{-x}$.
A. $y = (x + C)e^{-x}$
B. $y = Ce^{-x}$
C. $y = xe^{-x}$
D. $y = e^{-x} + C$
17. Tìm transform Laplace của hàm $f(t) = t$.
A. $\frac{1}{s^2}$
B. $\frac{1}{s}$
C. $\frac{1}{s^3}$
D. $\frac{2}{s^3}$
18. Tính $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x$.
A. $e$
B. 1
C. 0
D. $\infty$
19. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Nếu $A$ khả nghịch thì $det(A) \neq 0$.
B. Nếu $det(A) = 0$ thì $A$ khả nghịch.
C. Nếu $A$ có $n$ eigenvalue phân biệt thì $A$ không chéo hóa được.
D. Nếu $A$ có một eigenvalue bằng 0 thì $A$ khả nghịch.
20. Cho hàm số $f(x) = x^4 - 2x^2 + 1$. Tìm số điểm cực trị của hàm số.
21. Cho $f(x, y) = x^2y + xy^2$. Tính $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$.
A. $2x + 2y$
B. $x^2 + y^2$
C. $4xy$
D. 0
22. Tìm hạng của ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}$.
23. Tính giới hạn $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}$.
A. 1
B. 0
C. $\infty$
D. Không tồn tại
24. Tính tích phân $\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} (x^2 + y^2) dy dx$.
A. $\frac{7}{12}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{2}{5}$
D. $\frac{1}{2}$
25. Tìm nghiệm của phương trình vi phân $y`` + y = 0$.
A. $y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)$
B. $y = C_1 e^x + C_2 e^{-x}$
C. $y = C_1 \cos(x) + C_2 x\cos(x)$
D. $y = C_1 \sin(x) + C_2 x\sin(x)$
26. Tính định thức của ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$.
27. Tìm Fourier series của hàm $f(x) = x$ trên khoảng $[-\pi, \pi]$.
A. $2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx)$
B. $2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n} \sin(nx)$
C. $2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \sin(nx)$
D. $2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \cos(nx)$
28. Tính tích phân đường $\int_C x y ds$ với $C$ là đoạn thẳng nối $(0, 0)$ và $(1, 1)$.
A. $\frac{\sqrt{2}}{6}$
B. $\frac{1}{6}$
C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
D. $\frac{1}{2}$
29. Tìm nghiệm của phương trình $y` = xy^2$ với $y(0) = 1$.
A. $y = \frac{2}{2 - x^2}$
B. $y = \frac{1}{1 - x^2}$
C. $y = e^{\frac{x^2}{2}}$
D. $y = \frac{1}{1 + x^2}$
30. Cho hàm $f(x,y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5$. Tìm điểm cực tiểu của hàm số.
A. $(1, 2)$
B. $(0, 0)$
C. $(2, 1)$
D. $(1, 0)$
