1. Tính $\int_0^{\infty} e^{-x} dx$.
A. 1
B. 0
C. $\infty$
D. -1
2. Tính giới hạn $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2y}{x^4 + y^2}$.
A. 0
B. 1
C. $\infty$
D. Không tồn tại
3. Cho $f(x, y) = e^{x^2 + y^2}$. Tính $\frac{\partial f}{\partial x}$.
A. $2xe^{x^2 + y^2}$
B. $2ye^{x^2 + y^2}$
C. $e^{x^2 + y^2}$
D. 0
4. Tính tích phân $\int_0^1 \int_0^x xy dy dx$.
A. $\frac{1}{8}$
B. $\frac{1}{4}$
C. $\frac{1}{2}$
D. 1
5. Cho hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2$. Tìm điểm dừng của hàm số.
A. $(0, 0)$
B. $(1, 1)$
C. $(0, 1)$
D. $(1, 0)$
6. Tính đạo hàm của hàm số $y = \ln(\sin(x))$.
A. $\cot(x)$
B. $\tan(x)$
C. $\frac{1}{\sin(x)}$
D. $\frac{\cos(x)}{\sin^2(x)}$
7. Tìm gradient của hàm số $f(x, y) = x^2y + xy^2$.
A. $\nabla f = (2xy + y^2, x^2 + 2xy)$
B. $\nabla f = (x^2 + 2xy, 2xy + y^2)$
C. $\nabla f = (2x + y, x + 2y)$
D. $\nabla f = (x^2y, xy^2)$
8. Tính tích phân đường $\int_C x dy$, với $C$ là đoạn thẳng từ $(0, 0)$ đến $(1, 1)$.
A. $\frac{1}{2}$
B. 0
C. 1
D. 2
9. Tìm cực trị của hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y$.
A. Có cực tiểu tại $(1, 2)$
B. Có cực đại tại $(1, 2)$
C. Không có cực trị
D. Có điểm yên ngựa tại $(1, 2)$
10. Tìm miền hội tụ của chuỗi $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$.
A. $[-1, 1)$
B. (-1, 1)
C. $[-1, 1]$
D. (-$\infty$, $\infty$)
11. Tìm vector pháp tuyến của mặt $z = x^2 + y^2$ tại điểm $(1, 1, 2)$.
A. $(-2, -2, 1)$
B. $(2, 2, -1)$
C. $(1, 1, -1)$
D. $\frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, -1)$
12. Giải phương trình vi phân $y`` + y = 0$.
A. $y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)$
B. $y = C_1 e^x + C_2 e^{-x}$
C. $y = C_1 \cos(x) + C_2 x\cos(x)$
D. $y = C_1 \sin(x) + C_2 x\sin(x)$
13. Tìm nghiệm của phương trình vi phân $y`` + 4y = \sin(x)$.
A. $y = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x) + \frac{1}{3}\sin(x)$
B. $y = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x) - \frac{1}{3}\sin(x)$
C. $y = C_1\cos(x) + C_2\sin(x) + \frac{1}{3}\sin(x)$
D. $y = C_1\cos(x) + C_2\sin(x) - \frac{1}{3}\sin(x)$
14. Tính $\int_0^{\pi/2} \sin^2(x) dx$.
A. $\frac{\pi}{4}$
B. $\frac{\pi}{2}$
C. $\pi$
D. 0
15. Cho hàm số $f(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy$. Tìm các điểm dừng của hàm số.
A. $(0,0)$ và $(1,1)$
B. $(0,0)$ và $(-1,-1)$
C. $(1,0)$ và $(0,1)$
D. $(0,0)$
16. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $r = 2\cos(\theta)$.
A. $\pi$
B. $2\pi$
C. $\frac{\pi}{2}$
D. $\frac{\pi}{4}$
17. Tính $\int_C (x^2 + y^2) ds$, với $C$ là đường tròn $x^2 + y^2 = 1$.
A. $2\pi$
B. $\pi$
C. $4\pi$
D. 0
18. Tính diện tích mặt tròn xoay khi quay đường cong $y = \sqrt{x}$ từ $x = 0$ đến $x = 1$ quanh trục $x$.
A. $\frac{\pi}{6} (5\sqrt{5} - 1)$
B. $\frac{\pi}{6} (5\sqrt{5} + 1)$
C. $\frac{\pi}{3} (5\sqrt{5} - 1)$
D. $\frac{\pi}{3} (5\sqrt{5} + 1)$
19. Tìm vi phân toàn phần của hàm số $z = x^3y^2$.
A. $dz = 3x^2y^2 dx + 2x^3y dy$
B. $dz = 2x^3y dx + 3x^2y^2 dy$
C. $dz = x^2y dx + xy^2 dy$
D. $dz = x^3 dx + y^2 dy$
20. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = x$.
A. $\frac{1}{6}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{5}{6}$
21. Tính $\int \frac{1}{x^2 - 1} dx$.
A. $\frac{1}{2} \ln \left| \frac{x - 1}{x + 1} \right| + C$
B. $\frac{1}{2} \ln \left| \frac{x + 1}{x - 1} \right| + C$
C. $\ln \left| \frac{x - 1}{x + 1} \right| + C$
D. $\ln \left| \frac{x + 1}{x - 1} \right| + C$
22. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$.
A. $\infty$
B. 0
C. 1
D. 2
23. Chuỗi nào sau đây hội tụ?
A. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$
B. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$
C. $\sum_{n=1}^{\infty} n$
D. $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n$
24. Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân $y` = y$, $y(0) = 1$.
A. $y = e^x$
B. $y = e^{-x}$
C. $y = 1$
D. $y = x$
25. Tính tích phân $\int x \cos(x) dx$.
A. $x \sin(x) + \cos(x) + C$
B. $x \cos(x) + \sin(x) + C$
C. $x \sin(x) - \cos(x) + C$
D. $x \cos(x) - \sin(x) + C$
26. Tính $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}$.
A. 1
B. 0
C. $\infty$
D. -1
27. Tìm điều kiện để chuỗi số $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ hội tụ.
A. $p > 1$
B. $p < 1$
C. $p \ge 1$
D. $p \le 1$
28. Tìm công thức khai triển Taylor của hàm số $f(x) = \sin(x)$ tại $x = 0$.
A. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
B. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
C. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$
D. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}$
29. Tìm công thức nghiệm tổng quát của phương trình $y`` - 3y` + 2y = 0$.
A. $y = C_1e^x + C_2e^{2x}$
B. $y = C_1e^{-x} + C_2e^{-2x}$
C. $y = C_1e^x + C_2xe^x$
D. $y = C_1e^{2x} + C_2xe^{2x}$
30. Tìm nghiệm của phương trình vi phân $y` + 2y = 0$.
A. $y = C e^{-2x}$
B. $y = C e^{2x}$
C. $y = 2e^{Cx}$
D. $y = e^{-2x} + C$
