1. Tính $\iint_D xydA$, với $D$ là miền giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = x$.
A. $\frac{1}{24}$
B. $\frac{1}{12}$
C. $\frac{1}{6}$
D. $\frac{1}{3}$
2. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền giới hạn bởi $y = x^2$, $y = 0$, $x = 1$ quanh trục $Ox$.
A. $\frac{\pi}{5}$
B. $\frac{\pi}{4}$
C. $\frac{\pi}{3}$
D. $\frac{\pi}{2}$
3. Tìm nghiệm của phương trình vi phân $y` = x + y$.
A. $y = Ce^x - x - 1$
B. $y = Ce^x + x + 1$
C. $y = Ce^{-x} - x - 1$
D. $y = Ce^{-x} + x + 1$
4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$.
A. 0
B. 1
C. $\infty$
D. 2
5. Tìm nghiệm của phương trình vi phân $y`` + 4y = \sin(x)$.
A. $y = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x) + \frac{1}{3}\sin(x)$
B. $y = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x) - \frac{1}{3}\sin(x)$
C. $y = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x) + \frac{1}{5}\sin(x)$
D. $y = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x) - \frac{1}{5}\sin(x)$
6. Tìm nghiệm của phương trình vi phân $y` + y = e^{-x}$.
A. $y = (x + C)e^{-x}$
B. $y = Ce^{-x}$
C. $y = xe^{-x}$
D. $y = (1 + C)e^{-x}$
7. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân $y`` - 3y` + 2y = 0$.
A. $y = C_1e^x + C_2e^{2x}$
B. $y = C_1e^{-x} + C_2e^{-2x}$
C. $y = C_1e^x + C_2xe^x$
D. $y = C_1e^{2x} + C_2xe^{2x}$
8. Tính $\int_C (x^2 + y^2) ds$, với $C$ là đoạn thẳng nối $(0, 0)$ và $(1, 1)$.
A. $\frac{\sqrt{2}}{3}$
B. $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
D. $\frac{1}{3}$
9. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân $xy` + y = x^2$.
A. $y = \frac{x^2}{3} + \frac{C}{x}$
B. $y = \frac{x^2}{2} + \frac{C}{x}$
C. $y = x^2 + \frac{C}{x}$
D. $y = \frac{x^3}{3} + \frac{C}{x}$
10. Tìm miền hội tụ của chuỗi $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^n}{n}$.
A. [1, 3)
B. (1, 3]
C. (1, 3)
D. [1, 3]
11. Tính đạo hàm riêng $\frac{\partial z}{\partial x}$ của hàm $z = x^2y + \sin(xy)$.
A. $2xy + y\cos(xy)$
B. $x^2 + x\cos(xy)$
C. $2x + \cos(xy)$
D. $2xy + x\cos(xy)$
12. Tìm cực trị của hàm $f(x, y) = x^2 + y^2$ với điều kiện $x + y = 1$.
A. $\frac{1}{2}$
B. 1
C. 2
D. $\frac{1}{4}$
13. Tính $\int_0^{\infty} e^{-x^2} dx$.
A. $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$
B. $\sqrt{\pi}$
C. $\frac{\pi}{2}$
D. $\pi$
14. Tính $\int_0^{\pi/2} \sin^2(x) dx$.
A. $\frac{\pi}{4}$
B. $\frac{\pi}{2}$
C. $\pi$
D. $\frac{3\pi}{4}$
15. Cho hàm $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$. Tìm điểm dừng của hàm số.
A. $(0, 0)$ và $(1, 1)$
B. $(0, 0)$ và $(-1, -1)$
C. $(1, 0)$ và $(0, 1)$
D. Không có điểm dừng
16. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = 2x$.
A. $\frac{4}{3}$
B. $\frac{2}{3}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{5}{3}$
17. Tìm vi phân toàn phần của hàm $f(x, y) = x^2 + xy + y^2$.
A. $df = (2x + y)dx + (x + 2y)dy$
B. $df = (2x + y)dx - (x + 2y)dy$
C. $df = (2x - y)dx + (x - 2y)dy$
D. $df = (2x - y)dx - (x - 2y)dy$
18. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân $y`` + y = 0$.
A. $y = C_1\cos(x) + C_2\sin(x)$
B. $y = C_1e^x + C_2e^{-x}$
C. $y = C_1e^x + C_2xe^x$
D. $y = C_1\cos(x) + C_2\sin(x) + x$
19. Tính giới hạn $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}$.
A. 0
B. 1
C. $\infty$
D. -1
20. Tìm nghiệm của phương trình vi phân $y` + 2y = 0$.
A. $y = Ce^{-2x}$
B. $y = Ce^{2x}$
C. $y = 2Ce^{-x}$
D. $y = 2Ce^{x}$
21. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi $\sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^n$.
A. 1
B. 2
C. 0
D. $\infty$
22. Tính tích phân lặp $\int_0^1 \int_0^2 xydxdy$.
23. Tính $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$.
A. $\frac{1}{2}$
B. 1
C. 0
D. $\infty$
24. Tính $\lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x}$.
A. $e$
B. 1
C. 0
D. $\infty$
25. Cho $f(x, y) = e^{x^2 + y^2}$. Tính $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$.
A. $4xye^{x^2 + y^2}$
B. $2e^{x^2 + y^2}$
C. $4e^{x^2 + y^2}$
D. $4x^2ye^{x^2 + y^2}$
26. Tính diện tích mặt tròn xoay khi quay đường cong $y = \sqrt{x}$, $0 \le x \le 4$, quanh trục $Ox$.
A. $\frac{8\pi}{3}(5\sqrt{5} - 1)$
B. $\frac{\pi}{6}(17\sqrt{17} - 1)$
C. $\frac{\pi}{3}(5\sqrt{5} - 1)$
D. $\frac{8\pi}{3}(17\sqrt{17} - 1)$
27. Tìm cực trị của hàm $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$.
A. Hàm số có cực tiểu tại (1, 1) và không có cực đại.
B. Hàm số có cực đại tại (1, 1) và không có cực tiểu.
C. Hàm số có cực đại tại (0, 0) và cực tiểu tại (1, 1).
D. Hàm số không có cực trị.
28. Tính tích phân $I = \int x \cos(x) dx$.
A. $x \sin(x) + \cos(x) + C$
B. $x \sin(x) - \cos(x) + C$
C. $x \cos(x) + \sin(x) + C$
D. $x \cos(x) - \sin(x) + C$
29. Tìm đạo hàm của hàm $F(x) = \int_0^{x^2} \sin(t^2) dt$.
A. $2x\sin(x^4)$
B. $\sin(x^4)$
C. $2x\sin(x^2)$
D. $\sin(x^2)$
30. Cho hàm $f(x, y) = x^2y + xy^2 + x^3 + y^3$. Tính $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$.
A. $2y + 6x$
B. $2x + 6y$
C. $2y + 3x^2$
D. $2x + 3y^2$
