1. Tìm eigenvalue của ma trận $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$.
A. $1$ và $3$
B. $0$ và $2$
C. $-1$ và $-3$
D. Không có eigenvalue
2. Tìm gradient của hàm số $f(x, y, z) = x^2y + yz^2 + xz$.
A. $\nabla f = (2xy + z, x^2 + z^2, 2yz + x)$
B. $\nabla f = (x^2 + z^2, 2xy + z, 2yz + x)$
C. $\nabla f = (2xy, x^2 + z^2, 2yz)$
D. $\nabla f = (2xy + z, x^2 + z^2 + x, 2yz)$
3. Cho hàm số $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$. Tìm các điểm dừng của hàm số.
A. $(0, 0)$ và $(1, 1)$
B. $(0, 1)$ và $(1, 0)$
C. $(0, 0)$ và $(-1, -1)$
D. Không có điểm dừng
4. Cho $z = 1 + i$. Tính $z^8$.
A. $16$
B. $-16$
C. $16i$
D. $-16i$
5. Cho ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$. Tìm ma trận nghịch đảo $A^{-1}$.
A. $\begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$
B. $\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$
C. $\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$
D. Không tồn tại ma trận nghịch đảo
6. Tính tích phân $\int_0^1 \int_0^x (x^2 + y^2) dy dx$.
A. $\frac{7}{15}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{2}{5}$
D. $\frac{1}{2}$
7. Tìm vector riêng ứng với eigenvalue $\lambda = 1$ của ma trận $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$.
A. $(1, -1)$
B. $(1, 1)$
C. $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$
D. $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$
8. Cho $f(x, y) = e^{x^2 + y^2}$. Tính $\frac{\partial f}{\partial x}$.
A. $2xe^{x^2 + y^2}$
B. $2ye^{x^2 + y^2}$
C. $e^{x^2 + y^2}$
D. $2(x+y)e^{x^2 + y^2}$
9. Tìm nghiệm của phương trình vi phân $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$.
A. $y^2 = x^2 + C$
B. $y = x + C$
C. $y = x^2 + C$
D. $y^2 = x + C$
10. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân $y`` - 4y` + 4y = 0$.
A. $y = C_1e^{2x} + C_2xe^{2x}$
B. $y = C_1e^{2x} + C_2e^{-2x}$
C. $y = C_1e^{4x} + C_2xe^{4x}$
D. $y = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x)$
11. Tìm cực trị của hàm số $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 4$.
A. Hàm số đạt cực đại tại $x = 1$ và cực tiểu tại $x = 3$.
B. Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$ và cực đại tại $x = 3$.
C. Hàm số đạt cực đại tại $x = -1$ và cực tiểu tại $x = -3$.
D. Hàm số không có cực trị.
12. Tìm hạng của ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$.
A. $1$
B. $2$
C. $3$
D. $0$
13. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân $y` + y = e^{-x}$.
A. $y = (x + C)e^{-x}$
B. $y = e^{-x} + C$
C. $y = xe^{-x}$
D. $y = Ce^{-x}$
14. Tìm giới hạn $\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}}$.
A. $e$
B. $1$
C. $0$
D. $\infty$
15. Tìm đạo hàm của hàm số $f(x) = \ln(\sin(x))$.
A. $\cot(x)$
B. $\tan(x)$
C. $\frac{1}{\sin(x)}$
D. $\frac{1}{\cos(x)}$
16. Tính $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx$.
A. $\sqrt{\pi}$
B. $\pi$
C. $1$
D. $2\sqrt{\pi}$
17. Tìm điều kiện để tích phân suy rộng $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^\alpha} dx$ hội tụ.
A. $\alpha > 1$
B. $\alpha < 1$
C. $\alpha \geq 1$
D. $\alpha \leq 1$
18. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = 2x$.
A. $\frac{4}{3}$
B. $\frac{2}{3}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $1$
19. Cho ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$. Tìm $A^n$.
A. $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
B. $\begin{bmatrix} n & 0 \\ 0 & n \end{bmatrix}$
C. $\begin{bmatrix} 1 & n \\ n & 1 \end{bmatrix}$
D. $\begin{bmatrix} n & n \\ n & n \end{bmatrix}$
20. Tìm cực trị của hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2 - xy + x + y$.
A. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $(-1, -1)$.
B. Hàm số đạt cực đại tại điểm $(-1, -1)$.
C. Hàm số không có cực trị.
D. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $(1, 1)$.
21. Tìm giá trị của $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 2x + 1}{2x^2 - x + 3}$.
A. $\frac{1}{2}$
B. $1$
C. $0$
D. $\infty$
22. Tính định thức của ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix}$.
A. $24$
B. $0$
C. $1$
D. $12$
23. Cho hàm số $f(x) = x^3 - 3x + 2$. Tìm khoảng đồng biến của hàm số.
A. $(-\infty, -1)$ và $(1, +\infty)$
B. $(-1, 1)$
C. $\mathbb{R}$
D. Không có khoảng đồng biến
24. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$.
A. $\mathbb{R}$
B. $\mathbb{C}$
C. $(-1, 1)$
D. $[-1, 1]$
25. Cho chuỗi $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$. Chuỗi này hội tụ khi nào?
A. $p > 1$
B. $p < 1$
C. $p \ge 1$
D. $p \le 1$
26. Tính tích phân đường $\int_C (x^2 + y^2) ds$, với $C$ là đường tròn $x^2 + y^2 = 1$.
A. $2\pi$
B. $\pi$
C. $4\pi$
D. $0$
27. Giải phương trình $z^2 + 2z + 5 = 0$ trên tập số phức.
A. $z = -1 \pm 2i$
B. $z = 1 \pm 2i$
C. $z = -1 \pm i$
D. $z = 1 \pm i$
28. Tính giới hạn $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}$.
A. $1$
B. $0$
C. $\infty$
D. Không tồn tại
29. Cho hàm số $f(x,y) = x^2 + xy + y^2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $f(x,y)$ trên miền $x^2 + y^2 \leq 1$.
A. $0$
B. $1$
C. $-1$
D. $\frac{1}{2}$
30. Tìm khai triển Taylor của hàm số $f(x) = \sin(x)$ tại $x = 0$.
A. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
B. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$
C. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$
D. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
