1. Cho $T: mathbb{R}^2
ightarrow mathbb{R}^2$ là phép chiếu vuông góc lên trục $x$. Công thức của $T$ là:
A. $T(x, y) = (x, 0)$
B. $T(x, y) = (0, y)$
C. $T(x, y) = (0, 0)$
D. $T(x, y) = (y, x)$
2. Cho $A$ là ma trận vuông. Phát biểu nào sau đây là sai?
A. Nếu $A$ khả nghịch thì $A^T$ khả nghịch.
B. Nếu $A$ khả nghịch thì các cột của $A$ độc lập tuyến tính.
C. Nếu $A$ khả nghịch thì hệ $Ax = 0$ có nghiệm duy nhất.
D. Nếu $A$ khả nghịch thì $A$ có ít nhất một hàng bằng 0.
3. Cho $A$ là ma trận vuông. Khi nào hệ phương trình tuyến tính $Ax = b$ có nghiệm duy nhất?
A. Khi $det(A) = 0$.
B. Khi $det(A)
eq 0$.
C. Khi $b = 0$.
D. Khi $A$ có các cột phụ thuộc tuyến tính.
4. Cho ma trận $A = egin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 end{bmatrix}$. Tìm ma trận nghịch đảo $A^{-1}$.
A. $egin{bmatrix} -2 & 1 \ 1.5 & -0.5 end{bmatrix}$
B. $egin{bmatrix} -2 & 1 \ 3/2 & -1/2 end{bmatrix}$
C. $egin{bmatrix} -4 & 2 \ 3 & -1 end{bmatrix}$
D. $egin{bmatrix} 4 & -2 \ -3 & 1 end{bmatrix}$
5. Cho $V$ là không gian vector với tích vô hướng. Hai vector $u, v in V$ được gọi là trực giao nếu:
A. $langle u, v
angle = 1$.
B. $langle u, v
angle = 0$.
C. $u = v$.
D. $u = -v$.
6. Cho $A$ và $B$ là hai ma trận vuông cùng cấp. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. $det(A+B) = det(A) + det(B)$
B. $det(AB) = det(A) det(B)$
C. $det(A-B) = det(A) - det(B)$
D. $det(A^T) = -det(A)$
7. Cho $A$ là ma trận vuông. Điều kiện nào sau đây là tương đương với việc $A$ không khả nghịch?
A. Các cột của $A$ độc lập tuyến tính.
B. Hệ phương trình $Ax = 0$ chỉ có nghiệm tầm thường.
C. 0 là một giá trị riêng của $A$.
D. $ ext{rank}(A)$ = số cột của A.
8. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ có các cột độc lập tuyến tính. Điều gì xảy ra nếu ta thêm một cột nữa vào $A$?
A. Các cột vẫn độc lập tuyến tính.
B. Các cột trở nên phụ thuộc tuyến tính.
C. Ma trận không còn vuông nữa.
D. Không thể kết luận gì.
9. Cho $A$ là ma trận vuông khả nghịch. Giá trị riêng của $A^{-1}$ liên hệ như thế nào với giá trị riêng của $A$?
A. Nếu $lambda$ là giá trị riêng của $A$, thì $lambda$ là giá trị riêng của $A^{-1}$.
B. Nếu $lambda$ là giá trị riêng của $A$, thì $-lambda$ là giá trị riêng của $A^{-1}$.
C. Nếu $lambda$ là giá trị riêng của $A$, thì $frac{1}{lambda}$ là giá trị riêng của $A^{-1}$.
D. Không có mối liên hệ nào.
10. Cho $V$ là không gian vector các hàm số liên tục trên đoạn $[a, b]$. Khi nào hai hàm số $f(x)$ và $g(x)$ trực giao với nhau?
A. $int_a^b f(x)g(x) dx = 1$
B. $int_a^b f(x)g(x) dx = 0$
C. $f(x) = g(x)$ với mọi $x in [a, b]$
D. $f(x) = -g(x)$ với mọi $x in [a, b]$
11. Cho $V$ là không gian vector các đa thức bậc không quá $n$. Số chiều của $V$ là:
A. $n$
B. $n+1$
C. $n-1$
D. $infty$
12. Cho $T: V
ightarrow W$ là một biến đổi tuyến tính. Khi đó, $ ext{Ker}(T)$ là:
A. Một không gian con của $W$.
B. Một không gian con của $V$.
C. Một tập hợp rỗng.
D. Một không gian vector bất kỳ.
13. Cho $A$ là ma trận vuông đối xứng. Điều gì có thể kết luận về các giá trị riêng của $A$?
A. Các giá trị riêng đều là số thực.
B. Các giá trị riêng đều là số phức.
C. Các giá trị riêng đều bằng 0.
D. Các giá trị riêng đều khác nhau.
14. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Khi nào thì $A$ trực giao?
A. Khi $A^T = A$.
B. Khi $A^T = A^{-1}$.
C. Khi $A^{-1} = -A$.
D. Khi $A = 0$.
15. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Điều kiện nào sau đây là cần và đủ để $A$ khả nghịch?
A. $det(A) = 0$
B. $ ext{rank}(A) < n$
C. $det(A)
eq 0$
D. Các cột của $A$ phụ thuộc tuyến tính.
16. Cho $V$ là không gian vector con của $mathbb{R}^n$. Số chiều của $V$ là:
A. Số vector trong $V$.
B. Số vector độc lập tuyến tính tối đa trong $V$.
C. Số vector phụ thuộc tuyến tính tối thiểu trong $V$.
D. Số vector trong cơ sở của $mathbb{R}^n$.
17. Cho $A$ là một ma trận vuông và $c$ là một hằng số. Khi đó, $det(cA)$ bằng:
A. $c det(A)$
B. $c^n det(A)$
C. $det(A)^c$
D. $det(A+c)$
18. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Khi nào thì $A$ chéo hóa được?
A. Khi $A$ có $n$ giá trị riêng phân biệt.
B. Khi tổng số chiều của các không gian riêng của $A$ bằng $n$.
C. Khi $A$ đối xứng.
D. Tất cả các đáp án trên.
19. Cho biến đổi tuyến tính $T(x, y) = (x+y, x-y)$. Ma trận biểu diễn của $T$ đối với cơ sở chính tắc là:
A. $egin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & -1 end{bmatrix}$
B. $egin{bmatrix} 1 & -1 \ 1 & 1 end{bmatrix}$
C. $egin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{bmatrix}$
D. $egin{bmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 end{bmatrix}$
20. Cho $v_1 = egin{bmatrix} 1 \ 2 end{bmatrix}$ và $v_2 = egin{bmatrix} 2 \ 4 end{bmatrix}$. Hai vector này:
A. Độc lập tuyến tính
B. Phụ thuộc tuyến tính
C. Trực giao
D. Đơn vị
21. Định nghĩa nào sau đây là đúng về không gian con?
A. Một không gian con là một tập hợp con của một không gian vector, đóng kín dưới phép cộng vector và phép nhân với một số vô hướng.
B. Một không gian con là một tập hợp con của một không gian vector.
C. Một không gian con là một không gian vector chứa một không gian vector khác.
D. Một không gian con là một tập hợp chứa vector không.
22. Hai không gian vector $V$ và $W$ được gọi là đẳng cấu nếu:
A. Chúng có cùng số chiều.
B. Chúng có cùng số vector.
C. Chúng có cùng cơ sở.
D. Tồn tại một song ánh tuyến tính từ $V$ đến $W$.
23. Cho $A$ là ma trận vuông thỏa mãn $A^2 = A$. Giá trị riêng của $A$ có thể là:
A. Chỉ 0
B. Chỉ 1
C. 0 hoặc 1
D. Bất kỳ số thực nào
24. Cho $V$ là không gian vector. Tập hợp $S = {v_1, v_2, ..., v_n} subset V$ được gọi là cơ sở của $V$ nếu:
A. $S$ sinh ra $V$.
B. $S$ độc lập tuyến tính.
C. $S$ sinh ra $V$ và $S$ độc lập tuyến tính.
D. $S$ là tập hợp con của $V$.
25. Cho $A$ là ma trận $m imes n$. Hạng của $A$ (rank($A$)) là:
A. Số hàng của $A$.
B. Số cột của $A$.
C. Số vector độc lập tuyến tính tối đa trong các hàng của $A$.
D. Số vector phụ thuộc tuyến tính tối thiểu trong các cột của $A$.
26. Cho ma trận $A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 2 & 0 \ 0 & 0 & 3 end{bmatrix}$. Các giá trị riêng của $A$ là:
A. 1, 2, 3
B. 0, 2, 3
C. 1, 0, 0
D. 0, 0, 0
27. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ và $lambda$ là một giá trị riêng của $A$. Không gian riêng ứng với giá trị riêng $lambda$ là:
A. Tập hợp tất cả các vector $v$ sao cho $Av = lambda v$.
B. Tập hợp tất cả các vector $v$ sao cho $Av = 0$.
C. Tập hợp tất cả các vector $v$ sao cho $Av = v$.
D. Tập hợp tất cả các vector $v$ sao cho $A = lambda v$.
28. Cho $A$ là ma trận $3 imes3$ có các giá trị riêng là 1, -1, và 2. Tính $det(A)$.
29. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Trace của $A$ (ký hiệu tr($A$)) là:
A. Tổng các phần tử trên đường chéo chính của $A$.
B. Tích các phần tử trên đường chéo chính của $A$.
C. Định thức của $A$.
D. Tổng các phần tử của $A$.
30. Cho ma trận $A$ có các giá trị riêng là $lambda_1, lambda_2, ..., lambda_n$. Định thức của $A$ bằng:
A. $lambda_1 + lambda_2 + ... + lambda_n$
B. $lambda_1 cdot lambda_2 cdot ... cdot lambda_n$
C. $frac{lambda_1 + lambda_2 + ... + lambda_n}{n}$
D. 0
