1. Tính $\int_0^{\infty} e^{-x} dx$.
A. 1
B. 0
C. $\infty$
D. -1
2. Tính tích phân $\int x \cos x dx$.
A. $x \sin x + \cos x + C$
B. $x \sin x - \cos x + C$
C. $x \cos x + \sin x + C$
D. $x \cos x - \sin x + C$
3. Cho hàm số $f(x) = x^3$. Tính gần đúng giá trị của $f(2.01)$ bằng vi phân.
A. 8.12
B. 8.03
C. 8.06
D. 8.09
4. Giải phương trình vi phân $y`` - 3y` + 2y = 0$.
A. $y = C_1e^x + C_2e^{2x}$
B. $y = C_1e^{-x} + C_2e^{-2x}$
C. $y = C_1e^x + C_2xe^{x}$
D. $y = C_1e^{2x} + C_2xe^{2x}$
5. Cho hàm số $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$. Tìm các điểm dừng của hàm số.
A. $(0, 0)$ và $(1, 1)$
B. $(0, 0)$
C. $(1, 1)$
D. Không có điểm dừng
6. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$.
A. $[-1, 1)$
B. $(-1, 1)$
C. $[-1, 1]$
D. $\mathbb{R}$
7. Tìm vector riêng của ma trận $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ ứng với giá trị riêng $\lambda = 3$.
A. $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$
B. $\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$
C. $\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$
D. $\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$
8. Tìm cực trị của hàm số $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 4$.
A. Cực đại tại $x = 1$, cực tiểu tại $x = 3$
B. Cực tiểu tại $x = 1$, cực đại tại $x = 3$
C. Không có cực trị
D. Cực đại tại $x = 1$ và $x = 3$
9. Cho hàm số $f(x, y) = e^{x^2 + y^2}$. Tính $\frac{\partial f}{\partial x}$.
A. $2xe^{x^2 + y^2}$
B. $2ye^{x^2 + y^2}$
C. $e^{x^2 + y^2}$
D. $2(x+y)e^{x^2 + y^2}$
10. Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính sau: $\begin{cases} x + y = 3 \\ x - y = 1 \end{cases}$
A. $x = 2, y = 1$
B. $x = 1, y = 2$
C. $x = 3, y = 0$
D. $x = 0, y = 3$
11. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình $y`` + y = \sin x$.
A. $y = C_1\cos x + C_2\sin x - \frac{1}{2}x\cos x$
B. $y = C_1\cos x + C_2\sin x + \frac{1}{2}x\cos x$
C. $y = C_1\cos x + C_2\sin x - x\cos x$
D. $y = C_1\cos x + C_2\sin x + x\cos x$
12. Tìm vi phân toàn phần của hàm số $z = f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$.
A. $dz = (3x^2 - 3y)dx + (3y^2 - 3x)dy$
B. $dz = (3x^2 + 3y)dx + (3y^2 + 3x)dy$
C. $dz = (x^2 - y)dx + (y^2 - x)dy$
D. $dz = (x^3 - 3y)dx + (y^3 - 3x)dy$
13. Cho $z_1 = 1 + i$ và $z_2 = 2 - i$. Tính $z_1 \cdot z_2$.
A. $3 + i$
B. $3 - i$
C. $1 + 3i$
D. $1 - 3i$
14. Tính đạo hàm của hàm số $f(x) = \ln(\sin x)$.
A. $\cot x$
B. $\tan x$
C. $\frac{1}{\sin x}$
D. $\frac{1}{\cos x}$
15. Tìm hạng của ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}$.
16. Tìm giới hạn $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 1}{2n^2 + n + 1}$.
A. $\frac{1}{2}$
B. 1
C. 0
D. 2
17. Cho $f(x) = \int_0^x e^{-t^2} dt$. Tính $f`(x)$.
A. $e^{-x^2}$
B. $e^{-t^2}$
C. $-2xe^{-x^2}$
D. $-e^{-x^2}$
18. Cho chuỗi số $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$. Chuỗi này hội tụ khi nào?
A. $p > 1$
B. $p < 1$
C. $p \ge 1$
D. $p \le 1$
19. Tìm giới hạn $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$.
A. 1
B. 0
C. $\infty$
D. Không tồn tại
20. Tìm khai triển Maclaurin của hàm số $f(x) = \cos x$.
A. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$
B. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$
C. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{n}}{n!}$
D. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}$
21. Tính tích phân $\int_0^1 \int_0^x (x^2 + y^2) dy dx$.
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{2}{5}$
C. $\frac{1}{5}$
D. $\frac{3}{5}$
22. Cho ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$. Tìm ma trận nghịch đảo $A^{-1}$.
A. $\begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$
B. $\begin{bmatrix} -2 & -1 \\ -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$
C. $\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$
D. Không tồn tại ma trận nghịch đảo
23. Tìm đạo hàm của hàm số $y = x^x$.
A. $x^x(\ln x + 1)$
B. $x^x \ln x$
C. $x^x$
D. $\ln x + 1$
24. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Nếu $A$ khả nghịch thì $det(A) \neq 0$
B. Nếu $det(A) = 0$ thì $A$ khả nghịch
C. Nếu $A$ không khả nghịch thì $det(A) \neq 0$
D. Luôn có $det(A) = 0$
25. Cho hàm $f(x) = \begin{cases} x^2 \sin(\frac{1}{x}), & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$. Tính $f`(0)$.
A. 0
B. 1
C. Không tồn tại
D. $\infty$
26. Tính $\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}}$.
A. $e$
B. 1
C. 0
D. $\infty$
27. Cho hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2$ với điều kiện $x + y = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $f(x, y)$.
A. $\frac{1}{2}$
B. 1
C. 0
D. $\frac{1}{4}$
28. Giải phương trình vi phân $y` + 2y = e^{-x}$.
A. $y = e^{-x} + Ce^{-2x}$
B. $y = e^{-2x} + Ce^{-x}$
C. $y = e^{-x} + Ce^{2x}$
D. $y = e^{-2x} + Ce^{x}$
29. Tìm cực trị của hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2 - xy + x + y$.
A. Cực tiểu tại $(-1, -1)$
B. Cực đại tại $(-1, -1)$
C. Không có cực trị
D. Cực tiểu tại (1, 1)
30. Tìm nghiệm của phương trình $x^2 + 2x + 5 = 0$ trên tập số phức.
A. $-1 \pm 2i$
B. $1 \pm 2i$
C. $-1 \pm i$
D. $1 \pm i$
