Trắc nghiệm Toán học 12 Chân trời bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Đề 1

Ta có đạo hàm $y' = 4x^3 - 4x = 4x(x^2-1) = 4x(x-1)(x+1)$. Cho $y' = 0 Leftrightarrow x = -1, x = 0, x = 1$. Xét dấu $y'$. $y'$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=-1$ và $x=1$, nên $x=-1$ và $x=1$ là các điểm cực tiểu. $y'$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua $x=0$, nên $x=0$ là điểm cực đại. Kết luận Giải thích: Điểm cực tiểu của hàm số là $x = -1$ và $x = 1$.

Ta có đạo hàm $y' = 3x^2 - 6x$. Cho $y' = 0 Leftrightarrow 3x(x-2) = 0 Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=2$. Xét dấu $y'$. $y' > 0$ khi $x < 0$ hoặc $x > 2$. $y' < 0$ khi $0 < x < 2$. Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-infty; 0)$ và $(2; +infty)$. Kết luận Giải thích: Hàm số đồng biến trên khoảng $(-infty; 0).

Tập xác định của hàm số là $$D = mathbb{R}$. Ta có $$y' = -3x^2 + 2mx - 3$. Hàm số nghịch biến trên $$mathbb{R}$ khi và chỉ khi $$y' le 0$ với mọi $$x in mathbb{R}$. Tam thức bậc hai $$ax^2 + bx + c$ với $$a=-3 < 0$ luôn không dương khi và chỉ khi $$Delta' = b'^2 - ac le 0$. Trong trường hợp này, $$a=-3$, $$b'=m$, $$c=-3$. Điều kiện là $$m^2 - (-3)(-3) le 0 Leftrightarrow m^2 - 9 le 0 Leftrightarrow (m-3)(m+3) le 0$. Điều này xảy ra khi $$-3 le m le 3$. Kết luận Giải thích: Giá trị của tham số $$m$ để hàm số nghịch biến trên $$mathbb{R}$ là $$-3 le m le 3$.

Tập xác định của hàm số là $D = mathbb{R}$.nTa có $y = (x^2 - 2x + 1)(x+2) = x^3 + 2x^2 - 2x^2 - 4x + x + 2 = x^3 - 3x + 2$.nĐạo hàm $y' = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$.nCho $y' = 0 Leftrightarrow 3(x-1)(x+1) = 0 Leftrightarrow begin{cases} x=1 \ x=-1 end{cases}$.nCác nghiệm này đều thuộc tập xác định.nXét dấu y':nKhoảng $(-infty; -1)$: $y' > 0$.nKhoảng $(-1; 1)$: $y' < 0$.nKhoảng $(1; +infty)$: $y' > 0$.nTại $x=-1$, y' đổi dấu từ dương sang âm nên là điểm cực đại.nTại $x=1$, y' đổi dấu từ âm sang dương nên là điểm cực tiểu.nHàm số có 2 điểm cực trị.nKết luận Giải thích: 2.

Tập xác định của hàm số là $$D = mathbb{R}$. Ta có $$y' = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1)$. Cho $$y' = 0 Leftrightarrow 4x(x^2 - 1) = 0 Leftrightarrow x=0$, $$x=-1$ hoặc $$x=1$. Xét dấu $$y'$: $$y' < 0$ trên $$(-infty; -1)$ và $$(0; 1)$, $$y' > 0$ trên $$$(-1; 0)$ và $$(1; +infty)$. Tại $$x=-1$ và $$x=1$, $$y'$ đổi dấu từ âm sang dương, nên hàm số đạt cực tiểu tại $$x=-1$ và $$x=1$. Giá trị cực tiểu $$y(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$, $$y(1) = (1)^4 - 2(1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$. Điểm cực tiểu là $$(-1; 2)$ và $$(1; 2)$. Kết luận Giải thích: Điểm cực tiểu của hàm số là $$(-1; 2)$ và $$(1; 2)$.

Tập xác định của hàm số là $$D = mathbb{R} setminus {3}$. Ta có $$y' = frac{2(x-3) - (2x+1)(1)}{(x-3)^2} = frac{2x - 6 - 2x - 1}{(x-3)^2} = frac{-7}{(x-3)^2}$. Vì $$-7 < 0$ và $$(x-3)^2 > 0$ với mọi $$x ne 3$, nên $$y' < 0$ với mọi $$x in D$. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó là $$(-infty; 3)$ và $$(3; +infty)$. Câu hỏi hỏi về khoảng đồng biến, tuy nhiên hàm này nghịch biến. Có thể đề bài hoặc lựa chọn có sai sót, nhưng dựa trên tính toán thì hàm này nghịch biến trên từng khoảng xác định. Giả sử câu hỏi muốn hỏi về khoảng nghịch biến. Nếu câu hỏi chính xác là đồng biến, thì không có khoảng nào đồng biến. Tuy nhiên, đáp án có dạng khoảng xác định. Xét lại đề bài, có thể câu hỏi gốc là nghịch biến. Giả sử câu hỏi gốc là "nghịch biến trên các khoảng nào". Khi đó, $y' < 0$ trên $(-infty, 3)$ và $(3, +infty)$. Vậy hàm số nghịch biến trên $(-infty; 3)$ và $(3; +infty)$. Nếu câu hỏi vẫn là "đồng biến", thì không có đáp án đúng. Giả định đề hỏi "nghịch biến".nTa tính lại đạo hàm: $$y' = frac{a d - b c}{(c x + d)^2}$ cho hàm $$y = frac{a x + b}{c x + d}$. Với $$a=2, b=1, c=1, d=-3$, ta có $$y' = frac{2(-3) - 1(1)}{(x-3)^2} = frac{-6-1}{(x-3)^2} = frac{-7}{(x-3)^2}$. $$y' < 0$ với mọi $$x ne 3$. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng $$(-infty; 3)$ và $$(3; +infty)$.nNếu đề bài hỏi "đồng biến", không có đáp án đúng. Giả sử đề bài có lỗi và muốn hỏi "nghịch biến". Khi đó, hàm số nghịch biến trên $$(-infty; 3)$ và $$(3; +infty)$. Đáp án A và B có dạng này.nKiểm tra lại yêu cầu: "độ khó Trung bình", "bài 1: Tính đơn điệu và cực trị". Hàm bậc nhất trên bậc nhất là kiến thức cơ bản. Đạo hàm đúng là $frac{-7}{(x-3)^2} < 0$. Hàm số nghịch biến trên $(-infty; 3)$ và $(3; +infty)$. Đáp án A ghi "và", đáp án B ghi "$\cup$". Theo định nghĩa, hàm số đơn điệu trên *từng khoảng xác định*. Do đó, cách viết đúng là "trên $(-infty; 3)$ và $(3; +infty)$". Đáp án A phù hợp với cách diễn đạt này.nKết luận Giải thích: Hàm số nghịch biến trên các khoảng $$(-infty; 3)$ và $$(3; +infty)$.

Điểm cực trị của hàm số là các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định, và $$f'(x)$ đổi dấu khi đi qua điểm đó. Ta có $$f'(x) = x(x-1)^2(x+2)^3$. Đạo hàm xác định trên $$mathbb{R}$. Cho $$f'(x) = 0 Leftrightarrow x=0$, $$x=1$ (nghiệm bội 2) hoặc $$x=-2$ (nghiệm bội 3).nXét dấu của $$f'(x)$: $$f'(x)$ đổi dấu khi đi qua các nghiệm bội lẻ. Nghiệm $$x=0$ là bội 1 (lẻ). Nghiệm $$x=1$ là bội 2 (chẵn), $$f'(x)$ không đổi dấu khi đi qua $$x=1$ (vì $$(x-1)^2 ge 0$). Nghiệm $$x=-2$ là bội 3 (lẻ).nVậy $$f'(x)$ đổi dấu khi đi qua $$x=0$ và $$x=-2$.nTại $$x=-2$: $(x+2)^3$ đổi dấu từ âm sang dương, $x$ âm, $(x-1)^2$ dương. $f'(x)$ đổi dấu từ $(-) imes (-) imes (-) = (+)$ sang $(-) imes (-) imes (+) = (-)$. (Check lại: $x<-2$, $x$ âm, $x-1$ âm $rightarrow (x-1)^2$ dương, $x+2$ âm $rightarrow (x+2)^3$ âm. $f'(x) = (-) imes (+) imes (-) = (+)$. $x$ giữa $-2$ và $0$, $x$ âm, $x-1$ âm $rightarrow (x-1)^2$ dương, $x+2$ dương $rightarrow (x+2)^3$ dương. $f'(x) = (-) imes (+) imes (+) = (-)$). Đổi dấu từ $(+)$ sang $(-)$ tại $x=-2$, nên $x=-2$ là điểm cực đại.nTại $$x=0$: $x$ đổi dấu từ âm sang dương, $(x-1)^2$ dương, $(x+2)^3$ dương. $f'(x)$ đổi dấu từ $(-) imes (+) imes (+) = (-)$ sang $(+) imes (+) imes (+) = (+)$. Đổi dấu từ $(-)$ sang $(+)$ tại $x=0$, nên $x=0$ là điểm cực tiểu.nTại $$x=1$: $(x-1)^2$ không đổi dấu. $f'(x)$ không đổi dấu.nHàm số có 2 điểm cực trị là $$x=-2$ và $$x=0$. Kết luận Giải thích: Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 2.

Tập xác định của hàm số là $D = mathbb{R}$.nĐạo hàm $y' = 3x^2 + 2mx + 3$.nHàm số đồng biến trên $mathbb{R}$ khi và chỉ khi $y' ge 0$ với mọi $x in mathbb{R}$.nTam thức bậc hai $3x^2 + 2mx + 3$ có hệ số $a = 3 > 0$.nĐể $3x^2 + 2mx + 3 ge 0$ với mọi $x in mathbb{R}$, điều kiện là $Delta' le 0$.n$Delta' = m^2 - 3 cdot 3 = m^2 - 9$.n$m^2 - 9 le 0 Leftrightarrow m^2 le 9 Leftrightarrow -3 le m le 3$.nĐiều kiện này có thể viết gọn là $|m| le 3$.nKết luận Giải thích: $|m| le 3$.

Tập xác định $D = mathbb{R} setminus {3}$. Đạo hàm $y' = frac{2(x-3) - (2x+1)}{(x-3)^2} = frac{2x - 6 - 2x - 1}{(x-3)^2} = frac{-7}{(x-3)^2}$. Vì $y' = frac{-7}{(x-3)^2} < 0$ với mọi $x in D$, hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó. Kết luận Giải thích: Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-infty; 3)$ và $(3; +infty).

Tập xác định của hàm số là $D = mathbb{R}$.nĐạo hàm $y' = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$.nCho $y' = 0 Leftrightarrow 3x(x-2) = 0 Leftrightarrow begin{cases} x=0 \ x=2 end{cases}$.nBảng xét dấu y':nKhoảng $(-infty; 0)$: $y' > 0$, hàm số đồng biến.nKhoảng $(0; 2)$: $y' < 0$, hàm số nghịch biến.nKhoảng $(2; +infty)$: $y' > 0$, hàm số đồng biến.nKết luận Giải thích: Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; 2)$.

Tập xác định của hàm số là $$D = mathbb{R}$. Ta có $$y' = 3x^2 - 6x$. Cho $$y' = 0 Leftrightarrow 3x(x-2) = 0 Leftrightarrow x=0$ hoặc $$x=2$. Xét dấu của $$y'$: $$y' < 0$ khi $$0 < x < 2$. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $$(0; 2)$. Trong các đáp án, khoảng $$(1; 2)$ là tập con của $$(0; 2)$. Kết luận Giải thích: Hàm số nghịch biến trên khoảng $$(1; 2)$.

Ta có đạo hàm $y' = 3x^2 - 6x$. Cho $y' = 0 Leftrightarrow 3x(x-2) = 0 Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=2$. Xét dấu $y'$. Đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm khi qua $x=0$, nên $x=0$ là điểm cực đại. Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=2$, nên $x=2$ là điểm cực tiểu. Hàm số có 2 điểm cực trị (1 cực đại và 1 cực tiểu). Kết luận Giải thích: Hàm số có 2 điểm cực trị.

Tập xác định của hàm số là $D = mathbb{R}$.nĐạo hàm $y' = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 4x(x-1)(x+1)$.nCho $y' = 0 Leftrightarrow 4x(x-1)(x+1) = 0 Leftrightarrow begin{cases} x=0 \ x=1 \ x=-1 end{cases}$.nCác nghiệm này đều thuộc tập xác định.nXét dấu y':nKhoảng $(-infty; -1)$: $y' < 0$.nKhoảng $(-1; 0)$: $y' > 0$.nKhoảng $(0; 1)$: $y' < 0$.nKhoảng $(1; +infty)$: $y' > 0$.nTại $x=-1$, y' đổi dấu từ âm sang dương nên là điểm cực tiểu.nTại $x=0$, y' đổi dấu từ dương sang âm nên là điểm cực đại.nTại $x=1$, y' đổi dấu từ âm sang dương nên là điểm cực tiểu.nVậy hàm số có các điểm cực trị là $x = 0$, $x = pm 1$.

Hàm số đồng biến trên $mathbb{R}$ khi và chỉ khi đạo hàm $y' ge 0$ với mọi $x in mathbb{R}$ và $y' = 0$ chỉ tại hữu hạn điểm. Đạo hàm $y' = 3x^2 - 2mx + (m+6)$. Để $y' ge 0$ với mọi $x in mathbb{R}$, ta cần hệ số của $x^2$ dương (đã là 3 > 0) và $Delta' le 0$. $Delta' = (-m)^2 - 3(m+6) = m^2 - 3m - 18$. $Delta' le 0 Leftrightarrow m^2 - 3m - 18 le 0$. Nghiệm của $m^2 - 3m - 18 = 0$ là $m = frac{3 pm sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-18)}}{2} = frac{3 pm sqrt{9 + 72}}{2} = frac{3 pm 9}{2}$. Nghiệm là $m_1 = -3$ và $m_2 = 6$. Tam thức $m^2 - 3m - 18$ mang dấu âm (hoặc bằng 0) giữa hai nghiệm. Vậy $Delta' le 0 Leftrightarrow -3 le m le 6$. Kết luận Giải thích: Giá trị của tham số $m$ là $-3 le m le 6$.

Tập xác định của hàm số là $D = mathbb{R} setminus {3}$.nĐạo hàm $y' = frac{2(x-3) - (2x+1) cdot 1}{(x-3)^2} = frac{2x - 6 - 2x - 1}{(x-3)^2} = frac{-7}{(x-3)^2}$.nVới mọi $x in D$, $(x-3)^2 > 0$, do đó $y' = frac{-7}{(x-3)^2} < 0$.nVậy hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.nCác khoảng xác định là $(-infty; 3)$ và $(3; +infty)$.nKết luận Giải thích: $(-infty; 3)$ và $(3; +infty)$.