Trắc nghiệm Toán học 12 Chân trời bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Đề 2

Tập xác định $D = mathbb{R}$. Ta có $y' = 3x^2 - 6x$. Cho $y' = 0 Leftrightarrow 3x(x-2) = 0 Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=2$. Xét dấu $y'$: $y' > 0$ khi $x < 0$ hoặc $x > 2$; $y' < 0$ khi $0 < x < 2$. Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $(-infty, 0)$ và $(2, +infty)$. Kết luận Giải thích: $(-infty, 0)$ và $(2, +infty)$

Tập xác định $D = mathbb{R} setminus {1}$.nĐạo hàm $y' = frac{(2x - 3)(x - 1) - (x^2 - 3x + 6)(1)}{(x - 1)^2} = frac{2x^2 - 2x - 3x + 3 - x^2 + 3x - 6}{(x - 1)^2} = frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2}$.nCho $y' = 0 Leftrightarrow x^2 - 2x - 3 = 0$. Phương trình có hai nghiệm phân biệt $x = -1$ và $x = 3$ (đều thuộc tập xác định).nKhi $x = -1$, $y(-1) = frac{(-1)^2 - 3(-1) + 6}{-1 - 1} = frac{1 + 3 + 6}{-2} = -5$. Điểm cực đại là $(-1; -5)$.nKhi $x = 3$, $y(3) = frac{3^2 - 3(3) + 6}{3 - 1} = frac{9 - 9 + 6}{2} = 3$. Điểm cực tiểu là $(3; 3)$.nKết luận Giải thích: Điểm cực đại là $(-1; -5)$ và điểm cực tiểu là $(3; 3)$.

Tập xác định của hàm số là $mathbb{R}$.Tính đạo hàm: $y' = -3x^2 + 3$.Tìm nghiệm của $y' = 0$: $-3x^2 + 3 = 0 Leftrightarrow x^2 = 1 Leftrightarrow x = pm 1$.Xét dấu $y'$: $y'$ mang dấu âm khi $x < -1$ hoặc $x > 1$, mang dấu dương khi $-1 < x < 1$.$y'$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua $x = 1$, suy ra $x = 1$ là điểm cực đại của hàm số.$y'$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x = -1$, suy ra $x = -1$ là điểm cực tiểu của hàm số.Điểm cực đại của hàm số là $x = 1$.Kết luận Giải thích: $$x = 1$$

Ta có đạo hàm $y' = 4x^3 - 4x$. Giải phương trình $y' = 0$, ta được $4x(x^2 - 1) = 0 Leftrightarrow 4x(x-1)(x+1) = 0$. Các nghiệm là $x = -1, x = 0, x = 1$. Các nghiệm này đều là nghiệm đơn, do đó đạo hàm $y'$ đổi dấu khi đi qua mỗi nghiệm. Vậy hàm số có 3 điểm cực trị.nKết luận Giải thích: Hàm số có 3 điểm cực trị.

Tập xác định $D = mathbb{R} setminus {-1}$. Ta có $y' = frac{2(x+1) - (2x-1)(1)}{(x+1)^2} = frac{2x+2-2x+1}{(x+1)^2} = frac{3}{(x+1)^2}$. Với mọi $x in D$, ta có $(x+1)^2 > 0$, suy ra $y' = frac{3}{(x+1)^2} > 0$. Do đó, hàm số đồng biến trên các khoảng $(-infty, -1)$ và $(-1, +infty)$. Hàm số không có khoảng nghịch biến. Kết luận Giải thích: Hàm số không có khoảng nghịch biến

Ta có đạo hàm $y' = 3x^2 - 6x$. Giải phương trình $y' = 0$, ta được $3x(x-2) = 0 Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=2$. Xét dấu đạo hàm $y'$:n- Khi $x < 0$, $y' > 0$.n- Khi $0 < x < 2$, $y' < 0$.n- Khi $x > 2$, $y' > 0$.nHàm số đồng biến trên các khoảng $(-infty; 0)$ và $(2; +infty)$.nKết luận Giải thích: Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-infty; 0)$ và $(2; +infty)$.

Tập xác định của hàm số là $mathbb{R}$.Tính đạo hàm: $y' = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 4x(x-1)(x+1)$.Tìm nghiệm của $y' = 0$: $x = 0, x = 1, x = -1$.Xét dấu $y'$: $y'$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x = -1$ và $x = 1$, suy ra $x = -1$ và $x = 1$ là các điểm cực tiểu của hàm số.Giá trị cực tiểu: $y(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0$; $y(1) = 1^4 - 2(1)^2 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0$.Các điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $(-1, 0)$ và $(1, 0)$.Kết luận Giải thích: $$(-1, 0) text{ và } (1, 0)$$

Ta có đạo hàm $y' = -3x^2 + 3$. Giải phương trình $y' = 0$, ta được $-3x^2 + 3 = 0 Leftrightarrow x^2 = 1 Leftrightarrow x = pm 1$.nXét dấu $y'$: $y' > 0$ khi $-1 < x < 1$, $y' < 0$ khi $x < -1$ hoặc $x > 1$.nĐạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x = -1$, nên $x = -1$ là điểm cực tiểu. Giá trị cực tiểu là $y(-1) = -(-1)^3 + 3(-1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$.nĐạo hàm đổi dấu từ dương sang âm khi qua $x = 1$, nên $x = 1$ là điểm cực đại. Giá trị cực đại là $y(1) = -(1)^3 + 3(1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4$.nKết luận Giải thích: Giá trị cực đại của hàm số là $4$.

Tập xác định của hàm số là $mathbb{R}$.Tính đạo hàm: $y' = 3x^2 - 6x$.Tìm nghiệm của $y' = 0$: $3x^2 - 6x = 0 Leftrightarrow 3x(x-2) = 0 Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=2$.Xét dấu $y'$: $y' > 0$ khi $x < 0$ hoặc $x > 2$; $y' < 0$ khi $0 < x < 2$.Hàm số đồng biến trên các khoảng $$(-infty, 0) text{ và } (2, +infty)$$.Kết luận Giải thích: $$(-infty, 0) text{ và } (2, +infty)$$

Tập xác định của hàm số là $mathbb{R} setminus {-1}$.Tính đạo hàm: $y' = frac{(2)(x+1) - (2x-1)(1)}{(x+1)^2} = frac{2x+2 - 2x+1}{(x+1)^2} = frac{3}{(x+1)^2}$.Với mọi $x neq -1$, ta có $y' = frac{3}{(x+1)^2} > 0$.Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.Vì $y' > 0$ trên $(-infty, -1)$ và trên $(-1, +infty)$, hàm số đồng biến trên các khoảng đó. Câu hỏi hỏi nghịch biến, nên đáp án là không có khoảng nào mà hàm số nghịch biến.Tuy nhiên, các lựa chọn đưa ra các khoảng. Với $y'>0$ trên từng khoảng xác định, hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-infty, -1)$ và $(-1, +infty)$. Có thể câu hỏi nhầm hoặc các đáp án nhiễu hỏi về nghịch biến.Kiểm tra lại đề bài và các lựa chọn. Đề bài hỏi nghịch biến. Đạo hàm $y' = 3/(x+1)^2 > 0$ với mọi $x neq -1$. Do đó, hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-infty, -1)$ và $(-1, +infty)$. Hàm số không nghịch biến trên khoảng nào cả. Các lựa chọn A, C, D đều sai vì chúng chỉ ra hàm số nghịch biến hoặc đồng biến trên hợp các khoảng hoặc toàn bộ tập xác định trừ điểm -1. Lựa chọn B chỉ ra các khoảng riêng lẻ. Dựa vào đề bài hỏi nghịch biến và đạo hàm luôn dương, có vẻ đề bài hoặc lựa chọn có vấn đề. Tuy nhiên, nếu hiểu câu hỏi là 'hàm số có nghịch biến trên khoảng nào trong các lựa chọn sau không?', và dựa trên đạo hàm, không có khoảng nào. Có thể đề bài gốc nhầm lẫn. Giả sử đề bài muốn hỏi đồng biến. Nếu đề hỏi đồng biến, đáp án B sẽ đúng (đồng biến trên $(-infty, -1)$ và trên $(-1, +infty)$). Nếu đề hỏi nghịch biến, không có đáp án đúng trong các lựa chọn. Giả sử đây là câu hỏi nhầm từ đồng biến sang nghịch biến, và lựa chọn B là đáp án cho đồng biến. Theo quy trình, tôi phải tạo đáp án dựa trên giải thích chính xác. Giải thích chính xác là hàm số đồng biến trên $(-infty, -1)$ và trên $(-1, +infty)$. Nếu phải chọn một đáp án từ các lựa chọn đã cho, và giả sử có lỗi trong đề bài/đáp án gốc, không thể xác định đáp án đúng cho câu hỏi 'nghịch biến'.Tôi sẽ giả định câu hỏi gốc là 'đồng biến' để có đáp án hợp lý từ các lựa chọn.Nếu câu hỏi là 'đồng biến', giải thích sẽ là: Hàm số đồng biến trên các khoảng $$(-infty, -1) text{ và } (-1, +infty)$$. Kết luận Giải thích: $$(-infty, -1) text{ và } (-1, +infty)$$.Lựa chọn B có nội dung này.Tuy nhiên, đề bài rõ ràng hỏi nghịch biến. Với đề bài hiện tại, không có đáp án đúng.Tôi sẽ tuân thủ đề bài hỏi nghịch biến và đạo hàm tính được. $y' > 0$ trên từng khoảng xác định. Do đó, không có khoảng nào hàm số nghịch biến. Các lựa chọn đều sai. Tuy nhiên, tôi phải chọn một trong 4 lựa chọn. Điều này mâu thuẫn với yêu cầu chính xác. Có khả năng đề bài hoặc các lựa chọn sai. Tôi sẽ tạo câu hỏi khác để tránh mâu thuẫn này.Câu hỏi mới: Tìm các khoảng đồng biến của hàm số $y = frac{x+1}{x-2}$.Tập xác định: $mathbb{R} setminus {2}$.Đạo hàm: $y' = frac{(1)(x-2) - (x+1)(1)}{(x-2)^2} = frac{x-2-x-1}{(x-2)^2} = frac{-3}{(x-2)^2}$.Với mọi $x neq 2$, $y' = frac{-3}{(x-2)^2} < 0$. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-infty, 2)$ và $(2, +infty)$.Kết luận Giải thích: $$(-infty, 2) text{ và } (2, +infty)$$. (Đây là nội dung cho đáp án đúng)Giờ tạo lại câu hỏi 3 dựa trên hàm số mới và hỏi về nghịch biến.Các lựa chọn sẽ chứa khoảng $(-infty, 2)$ và $(2, +infty)$.Lựa chọn A: $$(-infty, 2) text{ và } (2, +infty)$$ Lựa chọn B: $$(2, +infty)$$ Lựa chọn C: $$(-infty, 2)$$ Lựa chọn D: $$(-infty, +infty)$$ Xáo trộn và gán lại.Kết luận Giải thích: $$(-infty, 2) text{ và } (2, +infty)$$

Theo định lý về mối liên hệ giữa dấu của đạo hàm và tính đơn điệu của hàm số, nếu hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $(a,b)$ và $f'(x) ge 0$ với mọi $x in (a,b)$ (dấu '=' xảy ra tại hữu hạn điểm hoặc trên các đoạn có tổng độ dài bằng 0) thì hàm số đồng biến trên khoảng $(a,b)$. Mệnh đề "Nếu $f'(x) ge 0$ với mọi $x in (a, b)$ thì hàm số $f(x)$ đồng biến trên khoảng $(a, b)" là đúng (với điều kiện bổ sung về dấu bằng). Các phương án khác sai: Mệnh đề đảo ở ý 2 sai (ví dụ $y=x^3$ đồng biến nhưng $y'(0)=0$). Ý 3 sai, nếu $f'(x)<0$ thì hàm số nghịch biến, không có cực trị trên khoảng đó (đúng), nhưng câu hỏi yêu cầu mệnh đề đúng. Ý 4 sai, nếu $f'(x)=0$ trên khoảng $(a,b)$ thì hàm số là hàm hằng trên $(a,b)$, không phải "hàm số $f(x)$ là hàm hằng trên khoảng $(a, b)" (là đúng, nhưng có thể có mệnh đề đúng hơn). Mệnh đề 1 là mệnh đề chuẩn về điều kiện đủ để hàm số đồng biến. Xét trong ngữ cảnh trắc nghiệm, mệnh đề 1 là phát biểu đúng nhất. Kết luận Giải thích: Nếu $f'(x) ge 0$ với mọi $x in (a, b)$ thì hàm số $f(x)$ đồng biến trên khoảng $(a, b).

Ta có đạo hàm $y' = -3x^2 + 6x + m$.nHàm số nghịch biến trên $mathbb{R}$ khi và chỉ khi $y' le 0$ với mọi $x in mathbb{R}$.nTam thức bậc hai $-3x^2 + 6x + m$ có hệ số của $x^2$ là $-3 < 0$. Để tam thức này luôn không dương, biệt thức $Delta'$ phải không dương.n$Delta' = (6/2)^2 - (-3)(m) = 3^2 + 3m = 9 + 3m$.nĐiều kiện $y' le 0$ với mọi $x in mathbb{R}$ là $Delta' le 0$.n$9 + 3m le 0 Leftrightarrow 3m le -9 Leftrightarrow m le -3$.nKết luận Giải thích: $m le -3$.

Tập xác định $D = mathbb{R}$. Ta có $y' = -3x^2 + 3$. Cho $y' = 0 Leftrightarrow -3(x^2 - 1) = 0 Leftrightarrow x = pm 1$. Xét dấu $y'$: $y' < 0$ khi $x < -1$ hoặc $x > 1$; $y' > 0$ khi $-1 < x < 1$. Hàm số đạt cực đại tại $x = 1$. Giá trị cực đại là $y_{CD} = y(1) = -(1)^3 + 3(1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3$. Kết luận Giải thích: $y_{CD} = 3$

Tập xác định $D = mathbb{R}$. Ta có $y' = 3x^2 - 12x + 9$. Cho $y' = 0 Leftrightarrow 3(x^2 - 4x + 3) = 0 Leftrightarrow 3(x-1)(x-3) = 0 Leftrightarrow x=1$ hoặc $x=3$. Xét dấu $y'$: $y'$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua $x=1$ (cực đại); $y'$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=3$ (cực tiểu). Vậy điểm cực tiểu của hàm số có hoành độ là $x=3$. Kết luận Giải thích: $x = 3$

Tập xác định của hàm số là $mathbb{R}$.Tính đạo hàm: $y' = 3x^2 - 3$.Tìm nghiệm của $y' = 0$: $3x^2 - 3 = 0 Leftrightarrow x^2 = 1 Leftrightarrow x = pm 1$.Xét dấu $y'$: $y'$ mang dấu dương khi $x < -1$ hoặc $x > 1$, mang dấu âm khi $-1 < x < 1$.$y'$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x = 1$, suy ra $x = 1$ là điểm cực tiểu của hàm số.Giá trị cực tiểu của hàm số là $y(1) = 1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$.Kết luận Giải thích: $$0$$