Trắc nghiệm Toán học 12 Chân trời bài 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Đề 1

Hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 1$ liên tục trên đoạn $[-2; 4]$.Ta có $y' = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$.Cho $y' = 0 Leftrightarrow 3x(x-2) = 0 Leftrightarrow begin{cases} x=0 \ x=2 end{cases}$.Cả $x=0$ và $x=2$ đều thuộc đoạn $[-2; 4]$.Tính giá trị của hàm số tại các điểm $x=-2, x=0, x=2, x=4$:$y(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 + 1 = -8 - 12 + 1 = -19$. $y(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 1 = 1$. $y(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 1 = 8 - 12 + 1 = -3$. $y(4) = 4^3 - 3(4)^2 + 1 = 64 - 48 + 1 = 17$. So sánh các giá trị: $-19, 1, -3, 17$. Giá trị lớn nhất là 17, giá trị nhỏ nhất là -19. Kết luận Giải thích: Giá trị lớn nhất là 17, giá trị nhỏ nhất là -19.

Hàm số $f(x) = e^x sin x$ liên tục trên đoạn $[0; pi]$.Ta có $f'(x) = (e^x)'sin x + e^x(sin x)' = e^x sin x + e^x cos x = e^x (sin x + cos x)$.Cho $f'(x) = 0 Leftrightarrow e^x (sin x + cos x) = 0$. Do $e^x > 0$ với mọi $x$, ta có $sin x + cos x = 0 Leftrightarrow tan x = -1$. Trên đoạn $[0; pi]$, phương trình $tan x = -1$ có nghiệm $x = frac{3pi}{4}$. Điểm $x = frac{3pi}{4}$ thuộc đoạn $[0; pi]$.Tính giá trị của hàm số tại các điểm $x=0, x=frac{3pi}{4}, x=pi$:$f(0) = e^0 sin(0) = 1 cdot 0 = 0$. $f(frac{3pi}{4}) = e^{3pi/4} sin(frac{3pi}{4}) = e^{3pi/4} frac{sqrt{2}}{2}$. $f(pi) = e^pi sin(pi) = e^pi cdot 0 = 0$. So sánh các giá trị: $0, e^{3pi/4} frac{sqrt{2}}{2}, 0$. Ta có $e^{3pi/4} frac{sqrt{2}}{2} > 0$. Giá trị lớn nhất của hàm số là $e^{3pi/4} frac{sqrt{2}}{2}$.Kết luận Giải thích: Giá trị lớn nhất của hàm số là $e^{3pi/4} frac{sqrt{2}}{2}$.

Tập xác định của hàm số là $x ge 0$. Đoạn đang xét là $[0; 4]$, thỏa mãn điều kiện.nĐạo hàm: $m'(x) = 1 - frac{1}{2sqrt{x}}$.n$m'(x) = 0 Leftrightarrow 1 = frac{1}{2sqrt{x}} Leftrightarrow 2sqrt{x} = 1 Leftrightarrow sqrt{x} = frac{1}{2} Leftrightarrow x = frac{1}{4}$.nĐiểm cực trị $x = frac{1}{4}$ thuộc đoạn $[0; 4]$.nTính giá trị của hàm số tại các điểm mút và điểm cực trị thuộc đoạn:n$m(0) = 0 - sqrt{0} = 0$.n$m(frac{1}{4}) = frac{1}{4} - sqrt{frac{1}{4}} = frac{1}{4} - frac{1}{2} = -frac{1}{4}$.n$m(4) = 4 - sqrt{4} = 4 - 2 = 2$.nSo sánh các giá trị: $m(0) = 0$, $m(frac{1}{4}) = -frac{1}{4}$, $m(4) = 2$.nGiá trị nhỏ nhất là $-frac{1}{4}$.nKết luận Giải thích: Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[0; 4]$ là $-frac{1}{4}$.

Hàm số $y = x e^x$ liên tục trên đoạn $[-2; 0]$.nĐạo hàm $y' = 1 cdot e^x + x cdot e^x = e^x(1+x)$.nGiải phương trình $y' = 0 Leftrightarrow e^x(1+x) = 0$. Vì $e^x > 0$ với mọi $x$, ta có $1+x = 0 Leftrightarrow x = -1$.nĐiểm cực trị $x = -1$ thuộc đoạn $[-2; 0]$.nTính giá trị hàm số tại các điểm mút và điểm cực trị:n$y(-2) = -2 e^{-2} = -frac{2}{e^2}$.n$y(-1) = -1 e^{-1} = -frac{1}{e}$.n$y(0) = 0 e^0 = 0 cdot 1 = 0$.nSo sánh các giá trị $y(-2), y(-1), y(0)$: $min{-frac{2}{e^2}, -frac{1}{e}, 0}$.nTa có $e approx 2.718$, $e^2 approx 7.389$. Suy ra $-frac{2}{e^2} approx -0.27$ và $-frac{1}{e} approx -0.368$.nVậy $min{-frac{2}{e^2}, -frac{1}{e}, 0} = -frac{1}{e}$.nKết luận Giải thích: Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn $[-2; 0]$ là $-frac{1}{e}$.

Tập xác định của hàm số là $mathbb{R} setminus {1}$. Đoạn đang xét là $[2; 4]$. Điểm $x=1$ không thuộc đoạn này.nĐạo hàm: $g'(x) = frac{2(x-1) - (2x+1)(1)}{(x-1)^2} = frac{2x - 2 - 2x - 1}{(x-1)^2} = frac{-3}{(x-1)^2}$.nVới mọi $x in [2; 4]$, $g'(x) < 0$. Vậy hàm số nghịch biến trên đoạn $[2; 4]$.nGiá trị nhỏ nhất của hàm số đạt tại điểm cuối của đoạn, tức là tại $x = 4$.n$g(4) = frac{2(4) + 1}{4 - 1} = frac{9}{3} = 3$.nGiá trị lớn nhất đạt tại điểm đầu của đoạn, tức là tại $x = 2$.n$g(2) = frac{2(2) + 1}{2 - 1} = 5$.nSo sánh các giá trị: $g(2) = 5$, $g(4) = 3$.nGiá trị nhỏ nhất là $3$.nKết luận Giải thích: Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[2; 4]$ là $3$.

Hàm số $y = frac{2x+1}{x-1}$ xác định và liên tục trên khoảng $(1; 3]$.nĐạo hàm $y' = frac{2(x-1) - (2x+1)(1)}{(x-1)^2} = frac{2x - 2 - 2x - 1}{(x-1)^2} = frac{-3}{(x-1)^2}$.nVới mọi $x in (1; 3]$, $y' = frac{-3}{(x-1)^2} < 0$. Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng $(1; 3]$.nHàm số nghịch biến trên $(1; 3]$, giá trị nhỏ nhất (nếu có) sẽ đạt tại điểm cuối của khoảng.nTính giá trị tại điểm cuối $x=3$: $y(3) = frac{2(3)+1}{3-1} = frac{7}{2}$.nKhi $x to 1^+$, $y = frac{2x+1}{x-1} to frac{2(1)+1}{1^+ - 1} = frac{3}{0^+} = +infty$.nVậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng $(1; 3]$ là $y(3)$.nKết luận Giải thích: Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên khoảng $(1; 3]$ là $frac{7}{2}$.

Tập xác định của hàm số là $mathbb{R}$. Đoạn đang xét là $[0; 2]$.nĐạo hàm: $f'(x) = 3x^2 - 3$.n$f'(x) = 0 Leftrightarrow 3x^2 - 3 = 0 Leftrightarrow x^2 = 1 Leftrightarrow x = pm 1$.nCác điểm cực trị thuộc đoạn $[0; 2]$ là $x = 1$.nTính giá trị của hàm số tại các điểm mút và điểm cực trị thuộc đoạn:n$f(0) = 0^3 - 3(0) + 2 = 2$.n$f(1) = 1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$.n$f(2) = 2^3 - 3(2) + 2 = 8 - 6 + 2 = 4$.nSo sánh các giá trị: $f(0) = 2$, $f(1) = 0$, $f(2) = 4$.nGiá trị lớn nhất là $4$.nKết luận Giải thích: Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[0; 2]$ là $4$.

Tập xác định của hàm số là $mathbb{R}$. Đoạn đang xét là $[0; 2]$.nĐạo hàm: $k'(x) = -4x^3 + 4x = -4x(x^2 - 1) = -4x(x-1)(x+1)$.n$k'(x) = 0 Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 1$ hoặc $x = -1$.nCác điểm thuộc đoạn $[0; 2]$ mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định là $x = 0$ và $x = 1$. (Lưu ý: $x=0$ và $x=2$ là điểm mút).nTính giá trị của hàm số tại các điểm $x=0, x=1, x=2$:n$k(0) = -(0)^4 + 2(0)^2 + 3 = 3$.n$k(1) = -(1)^4 + 2(1)^2 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$.n$k(2) = -(2)^4 + 2(2)^2 + 3 = -16 + 8 + 3 = -5$.nSo sánh các giá trị: $k(0) = 3$, $k(1) = 4$, $k(2) = -5$.nGiá trị nhỏ nhất là $-5$.nKết luận Giải thích: Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[0; 2]$ là $-5$.

Hàm số $y = sin x + cos x$ liên tục trên đoạn $[0; frac{pi}{2}]$.nĐạo hàm $y' = cos x - sin x$.nGiải phương trình $y' = 0 Leftrightarrow cos x = sin x$.nTrên đoạn $[0; frac{pi}{2}]$, $cos x ge 0$. Nếu $cos x = 0$ thì $sin x = 0$, không thỏa mãn. Vậy $cos x > 0$, chia cả hai vế cho $cos x$: $1 = tan x$.nTrên đoạn $[0; frac{pi}{2}]$, phương trình $tan x = 1$ có nghiệm duy nhất $x = frac{pi}{4}$.nĐiểm cực trị $x = frac{pi}{4}$ thuộc đoạn $[0; frac{pi}{2}]$.nTính giá trị hàm số tại các điểm mút và điểm cực trị:n$y(0) = sin 0 + cos 0 = 0 + 1 = 1$.n$y(frac{pi}{4}) = sin frac{pi}{4} + cos frac{pi}{4} = frac{sqrt{2}}{2} + frac{sqrt{2}}{2} = sqrt{2}$.n$y(frac{pi}{2}) = sin frac{pi}{2} + cos frac{pi}{2} = 1 + 0 = 1$.nSo sánh các giá trị $y(0), y(frac{pi}{4}), y(frac{pi}{2})$: $max{1, sqrt{2}, 1} = sqrt{2}$.nKết luận Giải thích: Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn $[0; frac{pi}{2}]$ là $sqrt{2}$.

Hàm số $y = frac{x-1}{x+2}$ liên tục trên đoạn $[0; 3]$ (do $x=-2$ không thuộc đoạn này).Ta có $y' = frac{(x-1)'(x+2) - (x-1)(x+2)'}{(x+2)^2} = frac{1(x+2) - (x-1)1}{(x+2)^2} = frac{x+2-x+1}{(x+2)^2} = frac{3}{(x+2)^2}$.Với $x in [0; 3]$, ta có $(x+2)^2 > 0$, nên $y' = frac{3}{(x+2)^2} > 0$ với mọi $x in [0; 3]$.Do đó, hàm số đồng biến trên đoạn $[0; 3]$.Giá trị lớn nhất của hàm số đạt được tại $x=3$.$y(3) = frac{3-1}{3+2} = frac{2}{5}$.Kết luận Giải thích: Giá trị lớn nhất là $frac{2}{5}$.

Hàm số $y = sqrt{x^2 - 2x + 5}$ xác định và liên tục trên đoạn $[0; 3]$ vì $x^2 - 2x + 5 = (x-1)^2 + 4 ge 4 > 0$ với mọi $x$.nTìm giá trị lớn nhất của $y = sqrt{u}$ trên $[0; 3]$ tương đương với tìm giá trị lớn nhất của $u = f(x) = x^2 - 2x + 5$ trên $[0; 3]$, do hàm $sqrt{t}$ đồng biến khi $t ge 0$.nXét hàm $f(x) = x^2 - 2x + 5$ trên $[0; 3]$.nĐạo hàm $f'(x) = 2x - 2$.nGiải phương trình $f'(x) = 0 Leftrightarrow 2x - 2 = 0 Leftrightarrow x = 1$.nĐiểm cực trị $x = 1$ thuộc đoạn $[0; 3]$.nTính giá trị của hàm $f(x)$ tại các điểm mút và điểm cực trị:n$f(0) = 0^2 - 2(0) + 5 = 5$.n$f(1) = 1^2 - 2(1) + 5 = 1 - 2 + 5 = 4$.n$f(3) = 3^2 - 2(3) + 5 = 9 - 6 + 5 = 8$.nSo sánh các giá trị $f(0), f(1), f(3)$: $max{5, 4, 8} = 8$.nGiá trị lớn nhất của $f(x) = x^2 - 2x + 5$ trên $[0; 3]$ là 8.nGiá trị lớn nhất của hàm số $y = sqrt{x^2 - 2x + 5}$ trên $[0; 3]$ là $sqrt{8} = 2sqrt{2}$.nKết luận Giải thích: Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn $[0; 3]$ là $2sqrt{2}$.

Hàm số $y = sqrt{4-x^2}$ có tập xác định là $[-2; 2]$. Hàm số liên tục trên đoạn $[-2; 2]$.Ta có $y' = frac{(4-x^2)'}{2sqrt{4-x^2}} = frac{-2x}{2sqrt{4-x^2}} = frac{-x}{sqrt{4-x^2}}$ với $x in (-2; 2)$.Cho $y' = 0 Leftrightarrow frac{-x}{sqrt{4-x^2}} = 0 Leftrightarrow x = 0$. Điểm $x=0$ thuộc khoảng $(-2; 2)$.Tính giá trị của hàm số tại các điểm $x=-2, x=0, x=2$:$y(-2) = sqrt{4-(-2)^2} = sqrt{4-4} = sqrt{0} = 0$. $y(0) = sqrt{4-0^2} = sqrt{4} = 2$. $y(2) = sqrt{4-2^2} = sqrt{4-4} = sqrt{0} = 0$. So sánh các giá trị: $0, 2, 0$. Giá trị nhỏ nhất là 0.Kết luận Giải thích: Giá trị nhỏ nhất là 0.

Tập xác định của hàm số là $4-x^2 ge 0 Leftrightarrow -2 le x le 2$. Đoạn đang xét chính là tập xác định.nĐạo hàm: $h'(x) = sqrt{4-x^2} + x cdot frac{-2x}{2sqrt{4-x^2}} = sqrt{4-x^2} - frac{x^2}{sqrt{4-x^2}} = frac{4-x^2 - x^2}{sqrt{4-x^2}} = frac{4-2x^2}{sqrt{4-x^2}}$.n$h'(x) = 0 Leftrightarrow 4 - 2x^2 = 0 Leftrightarrow x^2 = 2 Leftrightarrow x = pm sqrt{2}$.nCác điểm cực trị thuộc đoạn $[-2; 2]$ là $x = sqrt{2}$ và $x = -sqrt{2}$.nTính giá trị của hàm số tại các điểm mút và điểm cực trị thuộc đoạn:n$h(-2) = -2 sqrt{4-(-2)^2} = 0$.n$h(-sqrt{2}) = -sqrt{2} sqrt{4-(-sqrt{2})^2} = -sqrt{2} cdot sqrt{2} = -2$.n$h(sqrt{2}) = sqrt{2} sqrt{4-(sqrt{2})^2} = sqrt{2} cdot sqrt{2} = 2$.n$h(2) = 2 sqrt{4-2^2} = 0$.nSo sánh các giá trị: $h(-2) = 0$, $h(-sqrt{2}) = -2$, $h(sqrt{2}) = 2$, $h(2) = 0$.nGiá trị lớn nhất là $2$.nKết luận Giải thích: Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-2; 2]$ là $2$.

Hàm số $y = x^3 - 3x + 1$ liên tục trên đoạn $[0; 2]$.nĐạo hàm $y' = 3x^2 - 3$.nGiải phương trình $y' = 0 Leftrightarrow 3x^2 - 3 = 0 Leftrightarrow x^2 = 1 Leftrightarrow x = pm 1$.nTrong đoạn $[0; 2]$ chỉ có $x = 1$ là điểm cực trị.nTính giá trị của hàm số tại các điểm $0, 1, 2$:n$y(0) = 0^3 - 3(0) + 1 = 1$.n$y(1) = 1^3 - 3(1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1$.n$y(2) = 2^3 - 3(2) + 1 = 8 - 6 + 1 = 3$.nSo sánh các giá trị $y(0), y(1), y(2)$: $max{1, -1, 3} = 3$.nKết luận Giải thích: Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn $[0; 2]$ là 3.

Hàm số $y = x + frac{4}{x}$ liên tục trên đoạn $[1; 3]$ (do $x=0$ không thuộc đoạn này).Ta có $y' = (x)' + (frac{4}{x})' = 1 - frac{4}{x^2}$.Cho $y' = 0 Leftrightarrow 1 - frac{4}{x^2} = 0 Leftrightarrow 1 = frac{4}{x^2} Leftrightarrow x^2 = 4$. Trên đoạn $[1; 3]$, ta xét $x > 0$, nên $x = 2$. Điểm $x=2$ thuộc đoạn $[1; 3]$.Tính giá trị của hàm số tại các điểm $x=1, x=2, x=3$:$y(1) = 1 + frac{4}{1} = 1 + 4 = 5$. $y(2) = 2 + frac{4}{2} = 2 + 2 = 4$. $y(3) = 3 + frac{4}{3} = frac{9}{3} + frac{4}{3} = frac{13}{3}$. So sánh các giá trị: $5, 4, frac{13}{3}$. Ta có $frac{13}{3} approx 4.33$, $4$, $5$. Giá trị lớn nhất là 5.Kết luận Giải thích: Giá trị lớn nhất là 5.